Kardinális szám
A különféle végtelenekkel szembesülve Georg Cantor (1845–1918) orosz születésű német matematikus bevezette a kardinális szám fogalmát, ezzel tett különbséget közöttük.
Tartalomjegyzék |
Kardinális szám[szerkesztés]
Egy halmaz kardinális száma, más szóval számossága nagyjából azonos az elemszámával. Például az {a, b, c, d, e} halmaznak 5 a kardinális száma, mivel 5 eleme van.
Cantor az N halmaz kardinális számát א0-lal jelölte; az (alef) a héber ábécé első betűje. Az א0 (alef-null) változatlanul használatos azóta, hogy Cantor bevezette.
Az R halmaz kardinális számát c -vel (c a continuum szó latin megfelelője, a continuum szó kezdőbetűjével) jelöljük.
Mivel N végtelensége alacsonyabb rendű, mint R-é, fennáll, hogy א0 < c.
Kardinális szám és a kontinuumhipotézis[szerkesztés]
Van kardinális szám א0 és c között?
A hagyományos aritmetikában két tört között mindig van egy közbülső harmadik. Ha csak egész számok közötti egyenlőtlenségekre szorítkozunk, akkor nem szúrhatunk be közéjük másik számot: pl. 2<3, közöttük nincs másik egész szám.
A kontinuumhipotézis szerint nincs kardinális szám א0 és c között, más szóval az א0 után c a ‘következő’ kardinális szám. Cantor megpróbálta bebizonyítani a kontinuumhipotézist, de sokévi próbálkozás után sem járt sikerrel.
Kurt Gödel úgy gondolta, hogy ez a hipotézis hamis, de neki sem sikerült bizonyításig eljutnia, végül amerikai kollegájával, Paul Cohennel együtt bebizonyították: a halmazelmélet szokásos keretei között a kontinuumhipotézist sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a kontinuumhipotézis független a halmazelméletet leíró szokásos axiómáktól.
Ez bizonyos határpont volt.
Addigra kiderült, hogy sok különféle típusú geometria létezik.
A kontinuumhipotézis függetlensége rávilágított, hogy halmazelméletből is többféle létezhet.
Irodalom[szerkesztés]
- Tony Crilly: Nagy kérdések, Matematika. Geographia Kiadó. 2007. 62-63. o.
