Kardinális szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A különféle végtelenekkel szembesülve Georg Cantor (1845–1918) orosz születésű német matematikus bevezette a kardinális szám fogalmát, ezzel tett különbséget közöttük.

Kardinális szám[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy halmaz kardinális száma, más szóval számossága nagyjából azonos az elemszámával. Például az {a, b, c, d, e} halmaznak 5 a kardinális száma, mivel 5 eleme van.

Cantor az N halmaz kardinális számát א0-lal jelölte; az (alef) a héber ábécé első betűje. Az א0 (alef-null) változatlanul használatos azóta, hogy Cantor bevezette.

Az R halmaz kardinális számát c-vel (c a continuum szó latin megfelelője, a continuum szó kezdőbetűjével) jelöljük.

Mivel N végtelensége alacsonyabb rendű, mint R-é, fennáll, hogy א0 < c.

Kardinális szám és a kontinuumhipotézis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Van kardinális szám א0 és c között?

A hagyományos aritmetikában két tört között mindig van egy közbülső harmadik. Ha csak egész számok közötti egyenlőtlenségekre szorítkozunk, akkor nem szúrhatunk be közéjük másik számot: pl. 2<3, közöttük nincs másik egész szám.

A kontinuumhipotézis szerint nincs kardinális szám א0 és c között, más szóval az א0 után c a ‘következő’ kardinális szám. Cantor megpróbálta bebizonyítani a kontinuumhipotézist, de sokévi próbálkozás után sem járt sikerrel.

Kurt Gödel úgy gondolta, hogy ez a hipotézis hamis, de neki sem sikerült bizonyításig eljutnia, végül amerikai kollégájával, Paul Cohennel együtt bebizonyították: a halmazelmélet szokásos keretei között a kontinuumhipotézist sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a kontinuumhipotézis független a halmazelméletet leíró szokásos axiómáktól.

Ez bizonyos határpont volt. Addigra kiderült, hogy sok különféle típusú geometria létezik. A kontinuumhipotézis függetlensége rávilágított, hogy halmazelméletből is többféle létezhet.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tony Crilly: Nagy kérdések, Matematika. (hely nélkül): Geographia Kiadó. 2007. 62–63. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]