Lineáris altér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W \in V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése WV.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel
Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
  1. \mathbf{u},\mathbf{v}\in W \Rightarrow \mathbf{u}+
\mathbf{v}\in W és
  2. \mathbf{v}\in W, \lambda\in F \Rightarrow \lambda\mathbf{v}\in W
Bizonyítás
Ha W altér, akkor 1. és 2. feltételek teljesülnek, mivel ezek pontosan azt jelentik, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.
Megfordítva, csak azt kell igazolni, hogy W-ben létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. Legyen vW tetszőleges, 2. miatt 0 = 0vW nullelem, és -v = (-1)vW inverz.

W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér,
  • bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak,
  • tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben,
  • a háromdimenziós \mathbb{E}^3-ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík.

Generált altér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a1, …, anV vektorok által generált altéren az ai vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt〈a1, …, an〉-nel jelöljük,

\langle\mathbf{a}_1,\ldots, \mathbf{a}_n\rangle=\{ \lambda_1\mathbf{a}_1+...+\lambda_n\mathbf{a}_n \, |\, \lambda_1,\ldots, \lambda_n \in \mathbf{F}\}.

Általában, egy V vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, A nemüres részhalmaza által generált〈A〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük.
Igazolható a következő állítás is

Tétel
U =〈a1, …, an〉az ai vektorokat tartalmazó legszűkebb altér V-ben, azaz
  1. U \leq V
  2. \mathbf{a}_i\in U,\,\,i=1,\ldots, n
  3. \mathrm{ha}\,\ W \leq V\ \wedge\ \mathbf{a}_i\in W,\ i=1,\ldots,n\ \Rightarrow\ U \subseteq W

Két altér által generált altér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha W és Z alterek a V vektortérben, akkor a W és Z által generált altérnek a

\langle W, Z \rangle = \{\mathbf{w}+\mathbf{z}\,|\,\mathbf{w}\in W,\,\mathbf{z}\in Z\}

alteret nevezzük.
Ha WZ = 0, akkor a〈W,Z〉alteret a W és Z direkt összegének nevezzük, és a következőképpen

W \oplus Z

jelöljük.

A jóldefiniáltságot az adja, hogy a〈W,Z〉altér elemeinek w+z alakban történő felírása, wW, zZ, akkor és csak akkor egyértelmű, ha WZ = 0, ugyanis
Ha WZ = 0, és egy a ∈〈W,Z〉vektorra fennáll a

\mathbf{a}=\mathbf{w}_1+\mathbf{z}_1=\mathbf{w}_2+\mathbf{z}_2

egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy w1w2 = z1z2. Ez utóbbi bal oldalán W-beli, jobb oldalán Z-beli vektor áll, így szükségképpen w1=w2, z1=z2.
Megfordítva, tegyük fel, hogy x0WZ-nek. Ekkor x = x + 0 = 0 + x két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát WZ = 0.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]