Bessel-egyenlőtlenség

A Bessel-egyenlőtlenség a funkcionálanalízis egy tétele, mely kapcsolatot teremt egy Hilbert-tér-beli elem normája és egy ortonormált rendszerre vett vetületének együtthatói között.

Legyen $H$ Hilbert-tér, és legyen $\{e_i\}_{i=1}^{\infty}$ egy ortonormált rendszer $H$-ban. Ekkor minden $x\in H$-ra:

$\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2$

ahol <∙,∙> jelöli a téren értelmezett skalárszorzatot.

Ha a fenti ortinormált rendszer teljes is, akkor a két oldal egyenlő egymással, ez a Parseval-formula.

A Bessel-egyenlőtlenség egyszerűen adódik a következő számolásból:

$0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,$

Ez a szócikk a PlanetMath Bessel inequality cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.