Funkcionál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, különösen a funkcionálanalízis területén, hagyományosan funkcionálnak nevezzük azokat a függvényeket, melyek vektortérből képeznek a vektortér alaptestére, népszerűen fogalmazva a skalár-értékű vektorfüggvényeket. Az analízisben igen természetesen fordul elő függvények vektortere, ahol a funkcionál mint függvények függvénye manifesztálódik. A funkcionálok használata a variációszámításból ered, ahol azokat a függvényeket keresik, amiken egy bizonyos funkcionál a minimumát veszi fel. Különösen fontos alkalmazása - és nem kevésbé tipikus - a fizikában, amikor egynémely rendszer olyan állapotát keressük, amely minimalizálja a rendszer hatását.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

F\, pontosan akkor funkcionál, ha létezik V\,\,\mathbb{K} feletti vektortér, hogy  F \in \mathbb{K}^V, ahol \mathbb{K} \in \{\mathbb{R,\,C}\}. F\, funkcionál akkor lineáris, ha bármely V \ni x,y-ra és \lambda \in \mathbb{K}-ra F(x+y)=F(x)+F(y)\,, és F(\lambda x)=\lambda F(x)\,.

Talán pontatlanabbul, de nem csak matematikusoknak érthetően: a funkcionál olyan összerendelés, amely függvényhez számot rendel. (Ezzel szemben a függvény olyan összerendelés, amely számhoz számot, az operátor pedig olyan összerendelés, amely függvényhez függvényt rendel.)

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Határozott integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-integrálható függvények teréből értelmezett lineáris funkcionál az intervallumon vett határozott integrál:

  f \mapsto \int_a^b f(x)\,dx.

Algebrai duális[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen V\, vektortér \mathbb{K} felett.V\, algebrai duálisa, V^*\,, a V\,-ből \mathbb{K}-ba ható lineáris funkcionálok a tere. Ekkor

V^* =\{ f : V \rightarrow \mathbb{K};\, y \mapsto \langle x,y \rangle \,|\,\forall x \in V\}\,, ahol  \langle .,. \rangle euklideszi skalárszorzás,

ugyanis \Phi: V \rightarrow V^*;\, x\mapsto (y\mapsto \langle x,y \rangle )\, izomorfia V\, és V^*\, között.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kolmogorov, A. N. – Fomin, Sz. V. : A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei; fordította: Szigeti Ferenc; Typotex 2010.