Geometriai eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriai eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás független Bernoulli-kísérletek esetére. Két változata létezik:

A változat
A siker eléréséhez szükséges Bernoulli-kísérletek X számának a valószínűségi eloszlása. Ez az eloszlás a \{ 1, 2, 3, \dots\} halmazon értelmezett.
B változat
A siker előtti sikertelen kísérletek Y számának az eloszlása. Ez az eloszlás a \{0, 1, 2, \dots \} halmazon értelmezett.

A két változat összefüggése X = Y+1.

A geometriai eloszlás felhasználható:

  • egy megadott esemény előtti várakozási idők elemzésénél például a készülékek és alkatrészek élettartamának meghatározása = a várakozási idő az első meghibásodásig
  • a gyakori események számának meghatározása két egymástól független ritka esemény között; alkalmazási terülek például a készülékek megbízhatóságának vizsgálata, biztosítási matematika, adatátvitel hibaarányának meghatározása

Meghatározás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy kísérlet két lehetséges kimenetele közül egy adott esemény bekövetkezésének valószínűségét jelöljük p -vel. Ekkor az ellentett esemény valószínűsége q=1-p .

Akkor beszélünk geometriai eloszlásról, ha

A változat
annak a valószínűsége, hogy az első sikerhez pontosan n kísérletre van szükség,
\operatorname{P}(X=n)= p(1-p)^{n-1}= pq^{n-1} \quad (n=1,2, \dots)
B változat
annak a valószínűsége, hogy az első siker előtt pontosan n sikertelen kísérlet legyen
\operatorname{P}(Y=n)= p(1-p)^{n}= pq^{n} \quad (n=0,1,2, \dots)

A geometriai eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke:

A változat:

\operatorname{E}(X) = \frac{1}{p}

B változat:

\operatorname{E}(Y) = \operatorname{E}(X) - 1 = \frac{1-p}{p}.

Szórása:

Mindkét változat szórása:


\bold D (X)=\sqrt {\frac{1-p}{p^2}}
.

Ferdesége:

\operatorname{v}(X) = \operatorname{v}(Y) = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}.

Lapultsága:

\beta_2 = \frac{p^2 -6p +6}{1-p}.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A geometriai eloszlás örökifjú, azaz a várt esemény valószínűsége nem függ az addig eltelt várakozási időtől, és ez az egyetlen ilyen diszkrét eloszlás.

A változat:

\operatorname{P}(X = n+k \, | \, X > n) = \operatorname{P}(X = k) \quad n,k=1,2, \dots

B változat:

\operatorname{P}(Y = n+k \, | \, Y \ge n) = \operatorname{P}(Y = k) \quad n,k=0,1,2, \dots
  • A geometrikus eloszlás nem stabil, vagyis, ha U, V geometriai eloszlású valószínűségi változók, akkor \frac{U+V-a}{b} nem biztos, hogy újra geometrikus eloszlású lesz. A centrális határeloszlás tétele miatt az egyetlen véges szórású stabil eloszláscsalád a normális eloszlások családja.
  • Az X_1, \dots, X_k, független geometrikus eloszlású valószínűségi változók összege
X=\sum_{i=1}^{k} X_{i},

amennyiben mindegyiknek ugyanaz a p a paramétere, negatív binomiális eloszlású.

A változat:

\phi_{X}(s) = \frac{p e^{is}}{1-(1-p)e^{is}}.

B változat:

\phi_{Y}(s) = \frac{p}{1-(1-p)e^{is}}.

A változat:

m_{X}(s) = \frac{p e^s}{1-(1-p)e^{s}}

B változat:

m_{Y}(s) = \frac{p}{1-(1-p)e^{s}}.

Kapcsolat más eloszlásokkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Negatív binomiális eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A negatív binomiális eloszlás a geometrikus eloszlás általánosítása több sikeres kísérletre. Ezt kétféleképpen fogalmazzák be: vagy az r-edik sikeres kísérletre várnak, vagy azt emelik ki, hogy az r-edik sikeres kísérletre n próbálkozásra volt szükség.

A geometrikus eloszlás éppen az r=1 paraméterhez tartozó negatív binomiális eloszlás.

Exponenciális eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek az  X_1, X_2, X_3 \ldots geometrikus valószínűségi változók paraméterei  p_1, p_2, p_3 \ldots , és legyen  \lim_{n \to \infty} np_n=\lambda egy pozitív λ konstansra. Ekkor a  \frac{X_n}{n} sorozat tart egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változóhoz.

A folytonos exponenciális eloszlás a diszkrét geometriai eloszláshoz hasonlóan egy ritka, Poisson-eloszlású eseményre vár. Az exponenciális eloszlás így a geometriai eloszlás folytonos analógja.

Levezetések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A várható érték levezetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A geometriai eloszlás várható értéke többféleképpen is kiszámítható:

  • \operatorname{E}(X)=p\sum_{k=1}^{\infty}k\,(1-p)^{k-1}
       =  p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}(1-p)}\sum_{k=1}^{\infty}\,(1-p)^{k}
       = - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\,(1-p)^{k} \right)
       =  - p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1}{p}\right) = \frac{1}{p}.
  • \operatorname{E}(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k p (1-p)^{k-1} 
       = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1) p (1-p)^{k} 
       = \sum_{k=0}^{\infty}k p (1-p)^{k} + \sum_{k=1}^{\infty} p (1-p)^{k-1} 
       = (1-p) \operatorname{E}(X) +1 \Rightarrow \operatorname{E}(X) = \frac{1}{p}

ahol  \sum_{k=1}^{\infty} p (1-p)^{k-1} =1 , mivel az eloszlásfüggvény p (1-p)^{k-1}.

  • Az \operatorname{E}(X) várható érték az örökifjú tulajdonság miatt esetszétválasztással is számítható. p valószínűséggel az első esemény sikeres lesz, ezzel X=1 valósul meg, különben X>1 lesz 1-p valószínűséggel. Az örökifjú tulajdonság miatt a szükséges kísérletek száma megint \operatorname{E}(X). Ezzel :\operatorname{E}(X) = p\cdot 1 + (1-p)\cdot(1+\operatorname{E}(X)) = 1 + (1-p)\cdot \operatorname{E}(X), tehát \operatorname{E}(X) = \frac{1}{p}.
  • n kísérletből várhatóan n\cdot p lesz sikeres. Így a két sikeres kísérlet közötti várakozási idő
\frac{n}{n\cdot p}, vagyis \operatorname{E}(X) = \frac{1}{p}.

A szórás levezetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szórás helyett célszerűbb a szórásnégyzettel számolni.

\operatorname{\sigma ^2}(X)  = E(X^2) - E(X)^2 = p\sum_{k=1}^{\infty}k^{2}(1-p)^{k-1} - \frac{1}{p^2}
= p\sum_{k=1}^{\infty}k(k+1)(1-p)^{k-1} - p\sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1} - \frac{1}{p^2}
= p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k+1} + p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^{k} - \frac{1}{p^2}
= p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\sum_{k=0}^{\infty}(1-p)^{k} \cdot (1-p)^2\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\sum_{k=0}^{\infty}(1-p)^{k}\cdot(1-p)\right) - \frac{1}{p^2}
= p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\frac{1}{1-(1-p)} \cdot (1-p)^2\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1}{1-(1-p)}\cdot(1-p)\right) - \frac{1}{p^2}
= p\frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d}p^{2}}\left(\frac{(1-p)^2}{p}\right) +p\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}p}\left(\frac{1-p}{p}\right) - \frac{1}{p^2}
= p\cdot\frac{2}{p^3} - p\cdot\frac{1}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]