Negatív binomiális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az X valószínűségi változó r rendű és p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ – vagy rövidebben negatív binomiális eloszlású – pontosan akkor, ha


\bold P
(X=r+k)
=
\binom{k+r-1}{r-1}
p^r
(1-p)^{k}, 
\quad
k=0, 1, 2, ... 
\quad ,

ahol 0 < p ≤ 1.

Azt, hogy az X valószínűségi változó r rendű p paraméterű negatív binomiális eloszlást követ, néha következő módon jelölik: XNB(r,q) ahol q = 1 – p.

Speciálisan, ha XNB(1,q), akkor X-et geometriai eloszlásúnak nevezzük.

A binomiális eloszlású valószínűségi változóval az a véletlen esemény ragadható meg, amikor visszatevéses mintavétel mellett addig ismételjük a mintavételt, amíg r-szer tapasztalunk egy előre meghatározott eredményt. A binomiális eloszlású valószínűségi változó azt mutatja meg, hogy mi a valószínűsége annak, hogy pont k-szor kell megismételni a mintavételt ahhoz, hogy r-szer forduljon elő a meghatározott eredmény.

A negatív binomiális eloszlást jellemző függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Karakterisztikus függvénye

\varphi (t)
=
\left(
 \frac
   {p}
   {1-(1-p)e^{it}}
\right)^r

Generátorfüggvénye


G(z)
=
\left(
 \frac
   {p}
   {1-(1-p)z}
\right)^r
\,

A negatív binomiális eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke


\bold E (X)
=
\frac
 {r}
 {p}

Szórása


\bold D (X)
=
\frac
 {\sqrt{r(1-p)}
 }
 {p}

Momentumai

Ferdesége


\beta_1(X)
=
\frac
 {2-p}
 {\sqrt{r(1-p)}}

Lapultsága


\beta_2(X)
=
\frac
 {1+4(1-p)+(1-p)^2}
 {r(1-p)}

Negatív binomiális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Negatív binomiális eloszlású független valószínűségi változók összege is negatív binomiális eloszlású – ha azonos a p paraméterük. Pontosabban ha X1NB(r1, 1 – p) és X2NB(r2, 1 – p) független valószínűségi változók, akkor X1 + X2NB(r1 + r2, 1 – p).

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Arató M. (2001): Nem-élet biztosítási matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.