Poisson-eloszlás

A valószínűség-számításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát (például: egy telefonközpontba adott időszakban és időtartamban beérkezett telefonhívások száma, vagy egy radioaktív anyag adott idő alatt elbomló atomjainak száma).

Nevét Siméon-Denis Poissonról kapta, aki felfedezte, és valószínűség-számítási munkájában (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile) publikálta. Az eloszlás első közismert alkalmazása a porosz hadseregben lórúgástól meghalt katonák számának leírása volt (Ladislaus von Bortkiewicz: Das Gesetz der kleinen Zahlen („A kis számok törvénye”), 1898) [1] [2]).

Definíció

Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ – vagy rövidebben: Poisson-eloszlású – pontosan akkor, ha

$\bold P (X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} , \quad k=0, 1, 2, ... \quad$

ahol 0 < λ konstans.

A Poisson-eloszlást jellemző függvények

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t) = e^{\lambda e^{it}-\lambda} =\exp [\lambda (\exp (it)-1)] = e^{\lambda e^{z}-\lambda} =\exp [\lambda (\exp (z)-1)] \,$

A Poisson-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\bold E (X)=\lambda$.

Szórása

$\bold D (X)=\sqrt \lambda$.

Momentumai

Harmad és negyedrendű centrált momentumai

$\bold E [(X -\bold E(X))^3] = \lambda$

$\bold E [(X -\bold E(X))^4] = \lambda + 3 \lambda ^2$

Ferdesége

$\beta_1(X) = \lambda ^{-1/2} \,$

Lapultsága

$\beta_2(X) = \lambda ^{-1} \,$

Poisson-eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága

• Poisson-eloszlású független valószínűségi változók összege is Poisson-eloszlású. Pontosabban ha X₁ és X₂ független Poisson-eloszlású valószínűségi változók λ₁ és λ₂ paraméterekkel, akkor X₁ + X₂ is Poisson-eloszlású λ₁ + λ₂ paraméterrel. Ugyanekkor X₁ feltételes eloszlása X₁ + X₂ = n -re vonatkozóan n és λ₁/(λ₁ + λ₂) paraméterű binomiális eloszlást követ.

• Az összegzésre vonatkozó összefüggés fordítottja is igaz. Pontosabban ha X₁ + X₂ is Poisson-eloszlású valamint tudjuk, hogy X₁ és X₂ független valószínűségi változók, akkor X₁ és X₂ is Poisson-eloszlású.

• Ha binomiális eloszlások olyan sorozatát vesszük, melyben az eloszlások n paramétere úgy tart a végtelenbe, hogy közben az np szorzat konstans marad (p így nyilván a 0-hoz tart), akkor határeloszlásként Poisson-eloszlást kapunk.

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.

További információk

• Interaktív Java szimuláció a Poisson-eloszlásról és a Poisson-folyamatról. Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring