Poisson-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát (például: egy telefonközpontba adott időszakban és időtartamban beérkezett telefonhívások száma, vagy egy radioaktív anyag adott idő alatt elbomló atomjainak száma).

Nevét Siméon-Denis Poissonról kapta, aki felfedezte, és valószínűség-számítási munkájában (Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile) publikálta. Az eloszlás első közismert alkalmazása a porosz hadseregben lórúgástól meghalt katonák számának leírása volt (Ladislaus von Bortkiewicz: Das Gesetz der kleinen Zahlen („A kis számok törvénye”), 1898) [1] [2]).

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ – vagy rövidebben: Poisson-eloszlású – pontosan akkor, ha


\bold P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0, 1, 2, ... \quad

ahol λ > 0 konstans.

A Poisson-eloszlást jellemző függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Karakterisztikus függvénye


\varphi (t)=e^{\lambda e^{it}-\lambda}=\exp [\lambda (\exp (it)-1)]
=e^{\lambda e^{z}-\lambda}=\exp [\lambda (\exp (z)-1)]
\,

A Poisson-eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke


\bold E (X)=\lambda
.

Szórása


\bold D (X)=\sqrt \lambda
.

Momentumai

Harmad- és negyedrendű centrált momentumai

\bold E [(X -\bold E(X))^3]=\lambda

\bold E [(X -\bold E(X))^4]=\lambda + 3 \lambda ^2

Ferdesége


\beta_1(X)=\lambda ^{-1/2}
\,

Lapultsága


\beta_2(X)=\lambda ^{-1}
\,

Poisson-eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Poisson-eloszlású független valószínűségi változók összege is Poisson-eloszlású. Pontosabban ha X1 és X2 független Poisson-eloszlású valószínűségi változók λ1 és λ2 paraméterekkel, akkor X1 + X2 is Poisson-eloszlású λ1 + λ2 paraméterrel. Ugyanekkor X1 feltételes eloszlása X1 + X2 = n -re vonatkozóan n és λ1/(λ1 + λ2) paraméterű binomiális eloszlást követ.
  • Az összegzésre vonatkozó összefüggés fordítottja is igaz. Pontosabban ha X1 + X2 is Poisson-eloszlású valamint tudjuk, hogy X1 és X2 független valószínűségi változók, akkor X1 és X2 is Poisson-eloszlású.
  • Ha binomiális eloszlások olyan sorozatát vesszük, melyben az eloszlások n paramétere úgy tart a végtelenbe, hogy közben az np szorzat konstans marad (p így nyilván a 0-hoz tart), akkor határeloszlásként Poisson-eloszlást kapunk.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]