Körosztási polinom

A körosztási polinomok a primitív egységgyökök minimálpolinomjai. Jellegzetességük, hogy minden gyökük primitív egységgyök, éspedig minden gyökük ugyanolyan fokú primitív egységgyök. Fontos szerephez jutnak a geometriai szerkesztések elméletében és a Galois-elméletben.

Az n-edik körosztási polinom

$\Phi_n(x)=\prod^{\phi(n)}_{i=1}(x-\xi_i)$

ahol ξ₁,…,ξ_φ(n) az n-edik primitív egységgyökök, tehát olyan n-edik egységgyökök amelyek nem kisebb fokú egységgyökök és φ(n) az Euler-függvény. Az első néhány példa:

$\Phi_1(x)=x-1$

$\Phi_2(x)=x+1$

$\Phi_3(x)=x^2+x+1$

$\Phi_4(x)=x^2+1$

$\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

$\Phi_6(x)=x^2-x+1$

$\Phi_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

$\Phi_8(x)=x^4+1$

$\Phi_9(x)=x^6+x^3+1$

$\Phi_{10}(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$

$\Phi_{11}(x)=x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

$\Phi_{12}(x)=x^4-x^2+1$

$\Phi_{27}(x)=x^{18}+x^9+1$

Az n-edik körosztási polinom egész együtthatós, φ(n) fokú, irreducibilis polinom. Továbbá

$x^n-1 = \prod_{d|n} \Phi_d(x)$

Az első néhány körosztási polinomot tekintve úgy tűnhet, hogy $\Phi_{n}(x)$ együtthatói mindig az {1, −1, 0} halmazból kerülnek ki. Ez azonban nem igaz, mert például $\Phi_{105}(x)$-ben a hetedfokú tag együtthatója -2; ez a legalacsonyabb fokú ellenpélda.

Forrás

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Laczkovich Miklós: A körosztási polinomokról, Új matematikai mozaik, Typotex, Budapest, 2002, 243-250.
• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK