Mertens-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Mertens-függvény n=104-ig
A Mertens-függvény n=107-ig

A számelméletben a Mertens-függvény meghatározása:

M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k),

minden n természetes számra, ahol \mu (k) a Möbius-függvény. Franz Mertens német matematikusról nevezték el.

Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és minden x-re |M(x)| ≤ x.

A hiperbola-módszerrel közvetlenül adódik, hogy a prímszámtétel ekvivalens azzal, hogy M(x)=o(x). A Riemann-sejtés pedig azzal ekvivalens, hogy minden \varepsilon>0-ra M(x) = O(x^{\frac12 + \varepsilon}).

Mertens 1897-ben felállította azt a sokkal erősebb sejtést, hogy alkalmas c-re |M(x)|< c\sqrt{x}, sőt, hogy c=1 megfelel, azaz |M(x)|<\sqrt{x} teljesül minden x>1-re. Ezt Thomas Joannes Stieltjes már 1885-ben kimondta, sőt, egy Charles Hermite-hez írt levelében azt állította, hogy be is bizonyította. Ebben a sejtésben lényegében senki nem hitt, mégis csak 1983. október 18-án sikerült megcáfolnia Andrew Odlyzkonak és H. J. J. te Rielenek hosszadalmas számítógépes kutatás segítségével, ami felhasználta Arjen Lenstra, Hendrik Lenstra és Lovász László nevezetes LLL-algoritmusát.

Azt is belátták, hogy végtelen sokszor teljesül M(x)>1,06\sqrt{x} illetve végtelen sokszor teljesül M(x)<-1,009\sqrt{x}.

Eljárásuk azonban nem volt konstruktív, azaz csak olyan x szám létezését bizonyította (ún. egzisztenciabizonyítás), amire |M(x)|>\sqrt{x}, nem sikerült még becslést sem adnia x nagyságára.

1985-ben Pintz János mély analitikus módszerek segítségével belátta, hogy van ilyen x

10^{3,21\cdot10^{4}}

alatt. (Itt o, O az ordó jelölésre utal.)

Kiszámítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Mertens-függvényt az idők során egyre nagyobb n-ekre számolták ki.

Személy Év Határ
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1,5 · 105
von Sterneck 1901 5 · 105
von Sterneck 1912 5 · 106
Neubauer 1963 108
Cohen és Dress 1979 7,8 · 109
Dress 1993 1012
Lioen és van der Lune 1994 1013
Kotnik és van der Lune 2003 1014

Mathematica[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Mathematica programban a Sum[MoebiusMu[n], {n, a}] összegzéssel számolható ki a függvény értéke a-ra.