Háromszögszámok

A háromszögszámok a matematikában az 1+2+3+…+(n-1)+n = $\textstyle \sum_{i=1}^{n}i$ = $\textstyle \frac{n(n+1)}{2}$ alakba írható számok, vagyis amelyek előállnak az első néhány egymást követő természetes szám összegeként. Nevüket onnan nyerték, hogy kavicsokkal vagy más módon kirakva őket, szabályos háromszög alakba rendezhetőek:

1		3		6		10

A sorozat eleje

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431

Tulajdonságok

• Minden páros tökéletes szám háromszögszám.

• A háromszögszámok reciprokainak összege konvergens, határértéke 2:

$\!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {{n^2 + n} \over 2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n^2 + n}} = 2 .$

ami a teleszkópikus összeg segítségével mutatható meg:

$\!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n(n+1)}} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1$

• Carl Friedrich Gauss fedezte fel 1796-ban, hogy minden pozitív egész felírható legfeljebb három háromszögszám összegeként, melyet a naplójában a következőképpen jegyzett fel: „Heureka! num= Δ + Δ + Δ.”
• Két egymás utáni háromszögszám összege négyzetszám.

Külső hivatkozások

• Háromszögszámok az egész számok sorozatainak on-line enciklopédiájában
• Mathworld