Háromszögszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A háromszögszámoknak nevezik a matematikában azokat a számokat, amelyek előállnak az első valahány egymást követő természetes szám összegeként. Nevüket onnan nyerték, hogy kavicsokkal vagy más módon kirakva őket, szabályos háromszög alakba rendezhetőek:

1    3      6      10
* *
**
*
**
***
*
**
***
****

Formálisan kifejezve a háromszögszámok az 1+2+3+…+(n-1)+n = \textstyle \sum_{i=1}^{n}i alakban felírható számok. A számtani sorozat összegképletét felhasználva explicit képlet adható az n-edik háromszögszámra: \textstyle \sum_{i=1}^{n}i = \textstyle \frac{n(n+1)}{2}

A sorozat eleje[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {{n^2 + n} \over 2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n^2 + n}} = 2 .
ami a teleszkópikus összeg segítségével mutatható meg:
 \!\ \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n(n+1)}} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1
  • Carl Friedrich Gauss fedezte fel 1796-ban, hogy minden pozitív egész felírható legfeljebb három háromszögszám összegeként, melyet a naplójában a következőképpen jegyzett fel: „Heureka! num= Δ + Δ + Δ.”
  • Két egymás utáni háromszögszám összege négyzetszám.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]