Számelméleti függvények

Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis $f: \ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ alakú függvényekről van szó.

Rengetegféle ilyen függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány neve (ha van) és jele:

Példák

($\mathbb{P}$ jelölje a prímszámok halmazát: $\mathbb{P} \ := \ \left\{ \ p \in \mathbb{N} | \ p>1 \and \forall d \in \mathbb{N} \left( d|p \ \Rightarrow \ \left( d=1 \or d=p \right) \ \right) \ \right\}$

Egész értékű számelméleti függvények

jel	név (nevek)	jelentés	definitív képlet(ek)
d(n)	osztószám-függvény	az argumentum osztóinak száma	$\mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};$ $d(n)$ := $| \{k \in \mathbb{N} \ | \ k|n \} |$ := $\sum_{ d|n } d^{0}$
σ(n)	osztóösszeg-függvény (szigma-függvény)	az argumentum osztóinak összege	$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ \sigma(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d$
σx(n)	osztóhatványösszeg- függvény	az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege	$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$; $\sigma_{x}(n)$ $:=$ $\sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d^{x}$ (x∈R)
P(n)	osztószorzat-függvény	az argumentum osztóinak szorzata	$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ P(n) \ := \ \prod_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d$
ν(n)	nű-függvény	az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva)	–
χ(n)	khí-függvény	az argumentum különböző prímtényezőinek száma	$\mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};$ $\chi (n)$ := $| \{p \in \mathbb{P} \ | \ p|n \} |$ := $\sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{p|n} \\ \mbox{ }_{p \in \mathbb{P}}\end{matrix} } p^{0}$
φ(n)	Euler-függvény (fí-függvény)	az argumentumhoz relatív prím, nála kisebb pozitív egészek száma	N→N; φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n  ∧  (n, k)=1 }│
μ(n)	Möbius-függvény (mű-függvény)	egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény	$\mathbb{N}^{+} \rightarrow \left\{ -1, 0, 1 \right\}$; $\mu\ (n)$ $:=$ $\begin{cases} 1, & \mbox{ha } n=1; \\ (-1)^{\chi (n)}, & \mbox{ha } n=p_{1}p_{2}...p_{\chi (n)}; \\ 0, & \mbox{ha} \ \exist p \in \mathbb{P}: \ p^{2}|n \mbox{.} \\ \end{cases}$
π(n)	diszkrét prímszámláló függvény	az argumentumnál nem nagyobb prímek száma	N→N; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│
g(n)	lnko-összeg-függvény	az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege	$g(n) \ := \ \sum_{i=1}^{n} (n,i)$

Valós értékű számelméleti függvények

• A Λ(n) von Mangoldt-függvény: $\Lambda(n) \ := \ \begin{cases} \ln p & \mbox{ha } \ \exists \left( p, k \right) \in \mathbb{P} \times \mathbb{N}^{+} : \ n = p^{k} ; \\ 0 & \mbox{egy} \acute{e} \mbox{bk} \acute{e}\mbox{nt.} \end{cases}$

Komplex értékű számelméleti függvények

• A Riemann-féle zéta-függvény
• Ha k pozitív egész, a mod(k) Dirichlet-karakterek fontos speciális függvényosztály.

Fontosabb fogalmak

Additivitás és multiplikativitás

• Egy $\ f \$ számelméleti függvény additív, ha bármely $a,b \in \mathbb{N}$, $\ (a,b)=1 \$ esetén $\ f(ab)=f(a)+f(b) \$. Ha az $\ (a,b)=1 \$ feltétel elhagyható, akkor totálisan additív számelméleti függvényről beszélünk.
• Egy $\ f \$ számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely $a,b \in \mathbb{N}$, $\ (a,b)=1 \$ esetén $\ f(ab)=f(a)f(b) \$. Ha az $\ (a,b)=1 \$ feltétel elhagyható, akkor totálisan multiplikatív számelméleti függvényről beszélünk.

Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció)

Két számelméleti függvény (Dirichlet-)konvolúcióját így definiálják:

$(f*g)(n):=\sum_{d\mid n}f\!\left(\frac{n}{d}\right)g(d),\quad n\in\mathbb{N},$

ahol d végigmegy n összes osztóján.

Egy f számelméleti függvény összegfüggvénye megkapható a konstans 1 függvénnyel való konvolválással:

$F(n) = (f*I^0)(n) = \sum_{d\mid n}f(d), \quad n\in\mathbb{N}.$

ahol $I^0$ a konstans 1 függvény.

$I^0$ invertálható a konvolválásra; inverze a Möbius-féle μ függvény. Ebből adódik a Möbius-féle megfordítási képlet, amivel az összegfüggvényből visszanyerhető a függvény.

A konvolúcióra teljesülnek a következők:

• Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív
• Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem biztos, hogy teljesen multiplikatív
• Minden számelméleti függvény invertálható, ami az 1 helyen nem nulla
• Ez az inverz éppen akkor multiplikatív, ha az eredeti függvény is az
• Teljesen multiplikatív függvény inverze nem feltétlenül teljesen multiplikatív
• A konvolúció egységeleme a η függvény, amit így értelmeznek: η(1)=1, és η(n)=0, ha n>1.
• A számelméleti függvények algebrai struktúrája a komponensenkénti összeadásra, a skalárral szorzásra, és a konvolúcióra nézve:
  • komplex vektortér
  • integritási tartomány
  • algebra
• Ennek a struktúrának a multiplikatív csoportját azok a függvények alkotják, amik nem tűnnek el az 1 helyen.
  • Ennek valódi részcsoportja a multiplikatív függvények csoportja.

A konvolúció helyett a komponensenkénti szorzással is kommutatív algebrát alkotnak, ez azonban számelméletileg nem érdekes. Ez az algebra izomorf a komplex számsorozatok algebrájával.

Bell-sorozat

Ha f számelméleti függvény, és p adott prím, akkor f Bell-sorozata így definiálható modulo p:

$f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.$

Belátható, hogy két számelméleti függvény azonos, ha összes Bell-sorozatuk megegyezik. Két számelméleti függvény egyenlő akkor és csak akkor, ha:

$f_p(x)=g_p(x)$ minden p prímre.

Jelölje most f és g konvolúcióját h. Ekkor minden p prímre:

$h_p(x)=f_p(x) g_p(x).\,$

Ezzel könnyű Dirichlet-invertálni a számelméleti függvényeket.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor:

$f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.$

Néhány számelméleti függvény Bell-sorozata:

• A $\mu$ Möbius-függvényé $\mu_p(x)=1-x.$
• Az Euler-féle $\phi$ függvényé $\phi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.$
• A $\nu$ függvényé $\nu_p(x)=1.$
• A $\lambda$ Liouville-függvényé $\lambda_p(x)=\frac{1}{1+x}.$
• Az Id_k hatványfüggvényé $(\textrm{Id}_k)_p(x)=\frac{1}{1-p^kx}.$ Id_k a teljesen multiplikatív hatványfüggvény: $\operatorname{Id}_k(n)=n^k$.
• A $\sigma_k$ osztóösszeg-függvényé $(\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k) x+p^kx^2}.$

Források

• Freud–Gyarmati: Számelmélet
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

Külső hivatkozások

• W. W. L. Chen: Distribution of prime numbers (angol nyelvű pdf)