Számelméleti függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis  f: \ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C} alakú függvényekről van szó.

Rengetegféle ilyen függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány neve (ha van) és jele:

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

( \mathbb{P} jelölje a prímszámok halmazát:  \mathbb{P} \ := \ \left\{ \ p \in \mathbb{N} | \ p>1 \and \forall d \in \mathbb{N} \left( d|p \ \Rightarrow \ \left( d=1 \or d=p \right) \ \right) \ \right\}

Egész értékű számelméleti függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

jel név (nevek) jelentés definitív képlet(ek)
d(n) osztószám-függvény az argumentum osztóinak száma  \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};
d(n) := | \{k \in \mathbb{N} \ | \ k|n \} | :=  \sum_{ d|n } d^{0}
σ(n) osztóösszeg-függvény (szigma-függvény) az argumentum osztóinak összege  \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ \sigma(n) \ := \ \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d
σx(n) osztóhatványösszeg-
függvény
az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege  \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} ;  \sigma_{x}(n) :=  \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d^{x} (x∈R)
P(n) osztószorzat-függvény az argumentum osztóinak szorzata  \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}; \ P(n) \ := \ \prod_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{d|n} \\ \mbox{ }_{1 \le d \le n}\end{matrix} } d
ν(n) nű-függvény az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva)
χ(n) khí-függvény az argumentum különböző prímtényezőinek száma  \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N};
\chi (n) := | \{p \in \mathbb{P} \ | \ p|n \} | :=  \sum_{ \begin{matrix}\mbox{ }_{p|n} \\ \mbox{ }_{p \in \mathbb{P}}\end{matrix} } p^{0}
φ(n) Euler-függvény (fí-függvény) az argumentumhoz relatív prím, nála nem nagyobb pozitív egészek száma NN;
φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n  ∧  (n, k)=1 }│
μ(n) Möbius-függvény (mű-függvény) egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény  \mathbb{N}^{+} \rightarrow \left\{ -1, 0, 1 \right\} ;
 \mu\ (n)  := 
   \begin{cases}
    1, & \mbox{ha } n=1; \\
    (-1)^{\chi (n)}, & \mbox{ha } n=p_{1}p_{2}...p_{\chi (n)}; \\
    0, & \mbox{ha} \ \exist p \in \mathbb{P}: \ p^{2}|n \mbox{.} \\
   \end{cases}
π(n) diszkrét prímszámláló függvény az argumentumnál nem nagyobb prímek száma NN; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│
g(n) lnko-összeg-függvény az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege g(n) \ := \ \sum_{i=1}^{n} (n,i) [1]

Valós értékű számelméleti függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex értékű számelméleti függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fontosabb fogalmak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Additivitás és multiplikativitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Egy  \ f \ számelméleti függvény additív, ha bármely  a,b \in \mathbb{N} ,  \ (a,b)=1 \ esetén  \ f(ab)=f(a)+f(b) \ . Ha az  \ (a,b)=1 \ feltétel elhagyható, akkor totálisan additív számelméleti függvényről beszélünk.
  • Egy  \ f \ számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely  a,b \in \mathbb{N} ,  \ (a,b)=1 \ esetén  \ f(ab)=f(a)f(b) \ . Ha az  \ (a,b)=1 \ feltétel elhagyható, akkor totálisan multiplikatív számelméleti függvényről beszélünk.

Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két számelméleti függvény (Dirichlet-)konvolúcióját így definiálják:

(f*g)(n):=\sum_{d\mid n}f\!\left(\frac{n}{d}\right)g(d),\quad n\in\mathbb{N},

ahol d végigmegy n összes osztóján.

Egy f számelméleti függvény összegfüggvénye megkapható a konstans 1 függvénnyel való konvolválással:

 F(n) = (f*I^0)(n) = \sum_{d\mid n}f(d), \quad n\in\mathbb{N}.

ahol I^0 a konstans 1 függvény.

I^0 invertálható a konvolválásra; inverze a Möbius-féle μ függvény. Ebből adódik a Möbius-féle megfordítási képlet, amivel az összegfüggvényből visszanyerhető a függvény.

A konvolúcióra teljesülnek a következők:

  • Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív
  • Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem biztos, hogy teljesen multiplikatív
  • Minden számelméleti függvény invertálható, ami az 1 helyen nem nulla
  • Ez az inverz éppen akkor multiplikatív, ha az eredeti függvény is az
  • Teljesen multiplikatív függvény inverze nem feltétlenül teljesen multiplikatív
  • A konvolúció egységeleme a η függvény, amit így értelmeznek: η(1)=1, és η(n)=0, ha n>1.
  • A számelméleti függvények algebrai struktúrája a komponensenkénti összeadásra, a skalárral szorzásra, és a konvolúcióra nézve:
  • Ennek a struktúrának a multiplikatív csoportját azok a függvények alkotják, amik nem tűnnek el az 1 helyen.
    • Ennek valódi részcsoportja a multiplikatív függvények csoportja.

A konvolúció helyett a komponensenkénti szorzással is kommutatív algebrát alkotnak, ez azonban számelméletileg nem érdekes. Ez az algebra izomorf a komplex számsorozatok algebrájával.

Bell-sorozat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f számelméleti függvény, és p adott prím, akkor f Bell-sorozata így definiálható modulo p:

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.

Belátható, hogy két számelméleti függvény azonos, ha összes Bell-sorozatuk megegyezik. Két számelméleti függvény egyenlő akkor és csak akkor, ha:

f_p(x)=g_p(x) minden p prímre.

Jelölje most f és g konvolúcióját h. Ekkor minden p prímre:


h_p(x)=f_p(x) g_p(x).\,

Ezzel könnyű Dirichlet-invertálni a számelméleti függvényeket.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor:

f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.

Néhány számelméleti függvény Bell-sorozata:

  • A \mu Möbius-függvényé \mu_p(x)=1-x.
  • Az Euler-féle \phi függvényé \phi_p(x)=\frac{1-x}{1-px}.
  • A \nu függvényé \nu_p(x)=1.
  • A \lambda Liouville-függvényé \lambda_p(x)=\frac{1}{1+x}.
  • Az Idk hatványfüggvényé (\textrm{Id}_k)_p(x)=\frac{1}{1-p^kx}. Idk a teljesen multiplikatív hatványfüggvény: \operatorname{Id}_k(n)=n^k.
  • A \sigma_k osztóösszeg-függvényé (\sigma_k)_p(x)=\frac{1}{1-(1+p^k) x+p^kx^2}.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Freud–Gyarmati: Számelmélet
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Itt (n,i) az n,i számok legnagyobb közös osztóját jelöli

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]