Tökéletes számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben tökéletes számnak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek megegyeznek osztóik összegével (az 1-et beleértve, önmagukat kivéve) [1]. Más megfogalmazás szerint: összes osztóik összege a szám kétszerese. A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második legkisebb tökéletes szám a 28, melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a 496 és a 8128.

6

28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216

Az első tíz tökéletes szám

Történetük[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ókori görögök csak a négy legkisebb tökéletes számot (6, 28, 496, 8128) ismerték.

Az ókori görög matematikus, Euklidész felfedezte, hogy az első négy tökéletes szám felírható 2n-1(2n - 1) alakban:

n = 2-re:   21(22 - 1) = 6
n = 3-ra:   22(23 - 1) = 28
n = 5-re:   24(25 - 1) = 496
n = 7-re:   26(27 - 1) = 8128

Észrevéve, hogy a fent említett n-ekre, 2n - 1 minden esetben prímszám, Euklidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2n - 1 prím, 2n-1(2n - 1) tökéletes szám.

Az ókori matematikusok az első négy szám megfigyelése alapján további feltételezésekkel éltek, ám ezek zöme hamisnak bizonyult. Az egyik ilyen feltételezés szerint az ötödik tökéletes szám az n = 11 értékre adódik, mivel az első négy esetben n az első négy prímszám (2, 3, 5, 7) értékét veszi fel, „logikusnak” tűnt tehát, hogy az ötödik prímszám az ötödik tökéletes számot adja. Ez azonban nem igaz. Hasonló módon hamisnak bizonyultak a következő feltételezések:

  • Az ötödik tökéletes számnak öt számjegye van, mert az első négy is rendre egy, kettő, három ill. négy jegyből áll.
  • A tökéletes számok sorba rendezve felváltva 6-ra és 8-ra végződnek.

Az ötödik tökéletes szám (33 550 336) nyolc számjegyből áll, megdöntve a második feltételezést, viszont valóban 6-ra végződik. Azonban a következő, hatodik tökéletes szám (8 589 869 056) is 6-ra végződik, tehát a harmadik feltételezés is hamis. (Az, hogy minden páros tökéletes szám 6-ra vagy 8-ra végződik, könnyen megmutatható.)

Az is megmutatható, hogy ha 2n - 1 prím, akkor n is az, de fordítva nem feltétlenül igaz. Azokat a prímeket, amelyek felírhatók 2n - 1 alakban, Mersenne-prímeknek nevezzük a 17. században élt francia szerzetes, Marin Mersenne után.

Nikomakhosz Geraszénosz (Kr. u. I. szd. vége) Arithmétikhé eiszagogé (Bevezetés az aritmetikába) c. művében megfogalmazta a sejtést, hogy Euklidész képlete, 2n-1(2n - 1) az összes páros tökéletes számot kiadja. Ezt több mint másfél ezer évvel utána Leonhard Euler bizonyította be. Ennek egyenes következménye, hogy az összes Mersenne-prímhez találunk tökéletes számot, sőt, a két számcsoport között egy-az-egyhez megfeleltetés létezik.

Jelenleg véges sok Mersenne-prímet ismerünk, és azt sem tudjuk, hogy vajon végtelen sok ilyen prím van-e. Ennek megfelelően az sem ismert, hogy a tökéletes számok végtelen sokan vannak-e. De nem lehetnek túl sokan: nulla sűrűségű sorozatot alkotnak (H.-J. Kanold, 1954).

Nyitott kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok. Számos eredmény született ebben a témában, de egyik sem mutatott rá egy páratlan tökéletes számra vagy cáfolta ezek létezését. Ismert például, hogy minden n-re csak véges sok olyan páratlan tökéletes szám lehet, aminek n különböző prímtényezője van (L. E. Dickson 1913). Tudjuk, hogy ha létezik ilyen szám, akkor biztosan nagyobb, mint 10300 (R. P. Brent, G. L. Cohen, H. J. J. te Riele, 1991). Tudjuk továbbá, hogy legalább nyolc különböző prímosztója kell, hogy legyen (legalább tizenegy, ha a 3 nincs köztük), a prímtényezős felbontása legalább 47 tagból kell, hogy álljon, az egyik tényező nagyobb, mint 107, két tényező nagyobb, mint 104, további három tényező pedig nagyobb, mint 100.

A tökéletes számok osztóinak (az 1-et és saját magukat is beleszámítva) reciprok értékeit összeadva mindig 2 lesz az eredmény. Pl. 28 esetében: 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2

Az ismert többjegyű tökéletes számok számjegyeit egymással összeadva, majd az eredmény számjegyeit újra összeadva, mindaddig amíg egy számjegyet kapunk, mindig 1 lesz a végeredmény. Vagyis a 6-ot leszámítva mindegyik kilences maradéka 1. Pl. a 496 esetében: 4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

A tökéletes számok (a 6-ot kivéve) a hatos számrendszerben két 4-esre végződnek.

Más számcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az osztók összege alapján más számcsoportokat is megkülönböztetünk. Azokat a számokat, ahol az osztók összege kisebb a számnál, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak. Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]