Négyzetmentes szám

A számelméletben a négyzetmentes számok azok a természetes számok, amelyek nem oszthatók 1-nél nagyobb szám négyzetével.

Az első néhány négyzetmentes szám:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, …

Tulajdonságaik

Egy n természetes szám pontosan akkor négyzetmentes, ha prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel. Úgy is mondhatjuk, hogy n különböző prímek szorzata. Egy további ekvivalens meghatározás, hogy ha n=ab, akkor a és b relatív prímek.

A μ(n) Möbius-függvény pontosan akkor nem 0, ha n négyzetmentes.

Egy egész szám radikálja mindig négyzetmentes.

A négyzetmentes számok eloszlása

Ha Q(x) jelöli a négyzetmentes számok számát 1 és x között, akkor

$Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O(\sqrt{x})$

(lásd π és O jelölés). A négyzetmentes számok sorozatának sűrűsége tehát

$\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}$

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Ezt 1885-ben Gegenbauer bizonyította.

Ebből az is levezethető, hogy végtelen sokszor teljesül, hogy 3 egymásutáni pozitív egész mindegyike négyzetmentes. Bizonyítás: tegyük fel indirekten, hogy ez nem igaz, ekkor $4n,4n+1,4n+2,4n+3$ közül az első biztos nem négyzetmentes, hiszen osztható 4-gyel, a másik három közül pedig csak legfeljebb 2 lehet négyzetmentes az indirekt feltevés miatt, de akkor a négyzetmentes számok sűrűsége legfeljebb $\frac 24$ lenne, ami kisebb, mint $\frac{6}{\pi^2}$. Az ellentmondás bizonyítja az állítást.

Hasonlóan, ha Q(x,n) jelöli az n-edik hatványmentes számok számát x-ig, akkor

$\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x,n)}{x} = \frac{1}{\zeta(n)}.$

Sejtések

Erdős sejtette, hogy a középső binomiális együttható:

${2n \choose n}$

n > 4 esetén sohasem négyzetmentes. Ezt 1996-ban igazolta Olivier Ramaré és Andrew Granville.

Egy ma még nyitott sejtés szerint minden Fermat-szám négyzetmentes.