Cramer-szabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cramer-szabály a lineáris egyenletrendszerek egyik megoldási módja. A megoldások az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak hányadosaiként adódnak. Nevét Gabriel Cramer (1704–1752) svájci matematikusról kapta, aki 1750-ben először általánosan megfogalmazta.

A szabály[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük a következő n darab n-ismeretlenes lineáris egyenletből álló egyenletrendszert:

\begin{matrix}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\,, \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\,,\\
&&&\vdots&\\
a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{nn} x_n & = & b_n\,.
\end{matrix}

Ennek mátrixos felírása a következő:

 Ax = b\,,

ahol

A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}\,, \quad
x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\,,\quad
b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\,.


Ha most Bi-vel jelöljük azokat az A-ból képzett mátrixokat, melyek i. oszlopa helyén a b vektor áll, azaz

B_i = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1    & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2    & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots  &        & \vdots    & \vdots & \vdots    &        & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n    & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{pmatrix}\,,

és

\det(A)\neq0\,,

akkor

x_i = \frac{\det(B_i)}{\det(A)} minden i esetén (és 1 ≤ in). Itt a \det a determinánsképzést jelöli.

Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel Ax = b, és det(A) ≠ 0, ezért A invertálható mátrix. Ekkor

 x = A^{-1}b = \frac{1}{\det(A)}\mathrm{adj}(A)b \,,

ahol az adj(A) az A mátrix adjungáltját jelöli. Részletesen felírva az adjungáltat azt kapjuk, hogy

 \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}
= {1 \over {\det(A)}}
\begin{pmatrix}
{A}_{11} & {A}_{21} & \cdots & {A}_{n1} \\
{A}_{12} & {A}_{22} & \cdots & {A}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{A}_{1n} & {A}_{2n} & \cdots & {A}_{nn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\,,

ahol az Aij az A mátrix i-edik sorához és j-edik oszlopához tartozó előjeles aldetermináns értéke. A fenti mátrixszorzást soronként elvégezve oda lyukadunk ki, hogy minden i-re

x_i = \frac{\det(A_{1i})b_1 + \det(A_{2i})b_2 + \cdots + \det(A_{ni})b_n}{\det(A)}\,,

és a tört számlálójában éppen a Bi determinánsa szerepel az i. oszlopa szerint kifejtve.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert!

\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\
3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\
2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8
\end{alignat}

A Cramer-szabály segítségével a megoldások a következők:


x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
=\frac{60}{-4}=-15,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
=\frac{-32}{-4}=8,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
=\frac{-8}{-4}=2.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A megoldhatóság esetei:
Ha det(A) = 0 Ha det(A) ≠ 0
Ha b = \vec{0} \,, azaz az egyenletrendszer
homogén
Az  x = \vec{0} triviális megoldás mellett további megoldások léteznek, de felkutatásukra a Cramer-szabály nem használható, más módszerek szükségesek a kiszámításukhoz, például az LU felbontás Egy triviális megoldás van, az  x = \vec{0} \,;
a Cramer-szabály használható, de felesleges
Ha b \neq \vec{0} \,, azaz az egyenletrendszer
inhomogén
Az egyenletrendszernek nincs megoldása, és a Cramer-szabály nem használható Egy megoldás van és megtalálására a Cramer-szabály használható
  • Ha kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlen, akkor nem alkalmazható.
  • Nagy n-ek esetén a determinánsok kiszámolása hosszadalmas, ezért más megoldási módszereket használnak.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Cramer-szabály témájú médiaállományokat.