Cramer-szabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cramer-szabály a lineáris egyenletrendszerek egyik megoldási módja. A megoldások az egyenletrendszerből képzett mátrixok determinánsainak hányadosaiként adódnak. Nevét Gabriel Cramer (1704–1752) svájci matematikusról kapta, aki 1750-ben először általánosan megfogalmazta.

A szabály[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük a következő n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszert:

\begin{matrix}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\,, \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\,,\\
&&&\vdots&\\
a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{nn} x_n & = & b_n\,.
\end{matrix}

Ennek mátrixos felírása a következő:

 Ax = b\,,

ahol

A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}\,, \quad
x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\,,\quad
b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}\,.


Ha most Ai-vel jelöljük azokat a mátrixokat, melyek i. oszlopa helyén a b vektor áll, azaz

A_i = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,i-1} & b_1    & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & \cdots & a_{2,i-1} & b_2    & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots  &        & \vdots    & \vdots & \vdots    &        & \vdots \\
a_{n,1} & \cdots & a_{n,i-1} & b_n    & a_{n,i+1} & \cdots & a_{n,n}\end{pmatrix}\,,

és

\det(A)\neq0\,,

akkor

x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} minden i esetén (ahol 1 ≤ in}. Itt a \det a determinánsképzést jelöli.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert!

\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\
3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\
2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8
\end{alignat}

A Cramer-szabály segítségével a megoldások a következők:


x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
=\frac{60}{-4}=-15,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
=\frac{-32}{-4}=8,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
=\frac{-8}{-4}=2.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha \det(A)=0, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása.
  • Ha az egyenletrendszer homogén, azaz a b a nullvektorral azonos, akkor minden xi éppen 0 lesz, így a nem-nulla megoldásokat nem kapjuk meg.
  • Nagy n-ek esetén a determinánsok kiszámolása hosszadalmas, ezért más megoldási módszereket használnak.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Cramer-szabály témájú médiaállományokat.