Egybevágósági transzformáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egybevágósági transzformációnak (továbbiakban röviden egybevágóságnak) nevezzük a tér önmagára vonatkozó kölcsönösen egyértelmű leképezését, amely a szakaszokat velük egybevágó szakaszokba viszi.[1]

A tér egybevágóságai a kompozíció[2] műveletével csoportot alkotnak. Ez a csoport nem kommutatív. A műveletet jobbról balra végezzük el, azaz pl ha T egy tengelyes tükrözés, F pedig egy forgatás, akkor TF esetén előbb a forgatást végezzük el, és csak aztán a tükrözést.

A síkbeli egybevágóságok tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel
Az egybevágóság egyenestartó transzformáció.[3]
Bizonyítás
A, B, C legyenek egy egyenes három különböző pontja, ebben a sorrendben, ekkor \overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}. Indirekt tegyük fel, hogy a T egybevágóság ezt a három pontot olyan A', B', C' pontokba viszi, amelyek nem egy egyenesen vannak, tehát egy háromszög csúcspontjai. Mivel T egybevágóság, ezért az \overline{A'B'}+\overline{B'C'}=\overline{A'C'} egyenletnek teljesülnie kell. Viszont mivel A', B', C' egy háromszög három csúcsa, az oldalaira igaz a háromszög-egyenlőtlenség: \overline{A'B'}+\overline{B'C'}>\overline{A'C'}, ami ellentmondás, mert nyilván nem lehet, hogy két mennyiség egyenlő, ugyanakkor az egyik nagyobb mint a másik. Tehát az indirekt feltevés hamis, vagyis igaz az állítás.
Tétel
Ha egy egybevágóságnak létezik 2 (különböző) fix pontja,[4] akkor a két pontot összekötő egyenes minden pontja fix.
Bizonyítás
Legyen A, B a két különböző fix pont, e pedig az általuk meghatározott egyenes. Legyen P egy, az A-tól és a B-től különböző pontja e-nek. Indirekt tegyük fel, hogy P' (P képe) egy P-től különböző pontja az egyenesnek.[5] Mivel egybevágóságról van szó: \overline{PA}=\overline{P'A}\quad \overline{PB}=\overline{P'B} teljesülnek, azaz A és B rajta vannak a PP' felező merőlegesén. Mivel azonban az e-n is rajta vannak, és a felező merőleges csak egy pontban metsz e-t: A=B, ami ellentmondás, tehát e minden pontja fix.
Tétel
Ha egy egybevágóságnak létezik 3 nem kollineáris[6] fix pontja, akkor a sík minden pontja fix, azaz az egybevágóság identitása a síknak.
Bizonyítás
Legyenek A, B, C a fix pontok. Ekkor az általuk alkotott háromszög mindhárom oldalegyenese fix. Vegyünk fel egy tetszőleges Ppontot a síkon, és legyen Q az egyik oldalegyenes belső pontja. A Pasch-axióma[7] miatt létezik olyan R pont, hogy a PQ egyenes R-ben metszi egy másik egyenes belső pontját. Mivel Q, R fix pontok (az oldalegyenesek minden pontja fix), az RQ egyenesnek is minden pontja fix, tehát P is az.

Az eddigi tételek igazak a térben is, a következőkben viszont szigorúan egysíkúak leszünk.

Tengelyes tükrözés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tengelyes tükrözés
A síknak egy adott t egyenesre való tükrözése az a leképezés, amely egy tetszőleges P ponthoz azt a P' pontot rendeli képként, amelyre igaz, hogy PP'\perp t és PP'\cap t -t T-vel jelölve PT\cong P'T A t egyenes pontjai fixek. A tükrözést a tengellyel lehet jellemezni. Kétszer egymás után ugyanarra az egyenesre tükrözés az identitás (azaz:t\cdot t=t^2=1 \Leftrightarrow t^{-1}=t)
Tétel
Az egyenesre vonatkozó tükrözés egybevágóság.
Tükrözés.png
Bizonyítás
\Delta _{PTU}\cong \Delta _{P'TU} mivel a TU oldal közös, PT\cong P'T és a PTU szög egyenlő a P'TUszöggel. Ebből következik, hogy \overline{PU}\cong \overline{P'U} és PUT szög egyenlő P'UT szöggel, tehát QUP szög egyenlő Q'UP' szöggel. Ezekből:\Delta _{PUQ}\cong \Delta _{P'UQ'}\Rightarrow \overline{PQ}\cong \overline{P'Q'}
Tétel
Ha a sík egy identitástól különböző T egybevágóságnak van két fix pontja, akkor T a fixpontokat összekötő egyenesre való tengelyes tükrözés.
Bizonyítás
Legyen t a két fix ponton (A-n és B-n) áthaladó egyenes. Ekkor t minden pontja fix, és tetszőleges t-n kívüli P pont nem lehet fix (ld: előző tételek), tehát P' különbözik P-től. Mivel T egy egybevágóság:\overline{PA}=\overline{P'A}\quad \overline{PB}=\overline{P'B} tehát t a PP' szakasz felező merőlegese. Azaz:PP'\perp t\quad \overline{PT}\cong \overline{P'T}\Rightarrow P' a P pont tükörképe t-re
Tétel
Ha a sík egy F egybevágóságának pontosan 1 fix pontja van, akkor F előáll két tengelyes tükrözés kompozíciójaként, melyek tengelyei áthaladnak a fixponton.
Bizonyítás
Legyen A a fix pont. Ekkor tetszőleges A-tól különböző P esetén P' különbözik P-től. Legyen t a PP' felezőmerőlegese. A rajta van t-n, mert \overline{PA}\cong \overline{P'A} (ugyanis F egybevágóság). Tehát a tF egybevágóságnak A fix pontja és P is önmagára képzödik (ugyanis:P\longmapsto^\mathbf{F} P'\longmapsto^t P) Tehát A és P két fix pontja a tF egybevágóságnak \Rightarrow t\mathbf{F}=s \Rightarrow \mathbf{F}=ts

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. A síkbeli egybevágóságok olyan térbeli egybevágóságok, amelyek az adott síkot önmagára képezik.
  2. A függvények egymás után való alkalmazása.
  3. Olyan transzformáció, amelyre igaz, hogy az egyenes minden pontjára alkalmazva a pontok képe egyenes.
  4. Olyan pont, amit az egybevágóság önmagába visz
  5. Az előző tétel miatt biztos, hogy az egyenesen van rajta
  6. Nem egy egyenesen lévő
  7. ld: Hilbert-féle axiómarendszer#A rendezés axiómái 4. pont

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]