Rendszám (halmazelmélet)

A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.

Definíció

Egymással izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonságát nevezzük rendszámnak. Azaz, minden jólrendezett halmaznak van rendszáma és két jólrendezett halmaz rendszáma pontosan akkor azonos, ha izomorfak.

Alaptulajdonságok

Rendszámok rendezése: azt mondjuk, hogy az α rendszám kisebb a β rendszámnál (jelben α<β), ha a következő igaz: ha (A,<) egy α rendszámú jólrendezett halmaz, (B,<) egy β rendszámú jólrendezett halmaz, akkor (A,<) izomorf (B,<) egy elem által alkotott kezdőszeletével. Erre a relációra a következő tulajdonságok teljesülnek:

• irreflexivitás: α<α sosem igaz,
• tranzitivitás: ha α<β<γ akkor α<γ,
• trichotómia: ha α, β rendszámok, akkor α<β, α=β és β<α közül pontosan az egyik igaz.
• jólrendezés: rendszámok tetszőleges nemüres halmazának vagy osztályának van legkisebb eleme.
• egy α rendszámnál kisebb rendszámok jólrendezett halmazt alkotnak, melynek rendszáma α.

Rendszámok osztályozása

A rendszámokat a náluk kisebb rendszámok A halmaza alapján osztályozzuk.

• Ha A üres, akkor a rendszám a nulla.
• Ha A-nak van legnagyobb β eleme, akkor a szóban forgó rendszám β rákövetkezője.
• Egyébként pedig limeszrendszám.

Minden véges (nem nulla) rendszám rákövetkező rendszám. A legkisebb limeszrendszám a szokásos rendezéssel ellátott természetes számok rendszáma; jele az ω.

Műveletek

Összeadás

az összeadandó rendszámok reprezentáns halmazait egymás mögé írjuk.

Formálisan: ha $\langle(A_i,<_i):i\in B\rangle$ jólrendezett halmazok jólrendezett sorozata, akkor az $A=\{\langle i,a_i\rangle:i\in B, a_i\in A_i\}$ halmazon a lexikografikus rendezés ($\langle i,a_1\rangle<\langle j,a_2\rangle$, ha $i<j\vee(i=j\wedge a_1<_ia_2)$) jólrendezés; ennek rendszámát nevezzük $\left(A_i,<_i\right)$ rendszámai összegének.

Ebből következik, hogy a rendszámok összeadása nem kommutatív, hiszen $\omega +1 \neq 1+ \omega$. Ez onnan látható hogy az előbbi rendszámnak megfelelő halmazban van legnagyobb elem, míg az utóbbinak megfelelőben nincs. (Mellesleg $1+ \omega = \omega$.)

A rendszámok nem alkotnak halmazt,

hiszen akkor ez az R halmaz jólrendezett lenne, lenne egy α rendszáma, ami eleme lenne R-nek és egyenlő lenne R nála kisebb elemei halmazának rendszámával, ami kisebb, mint R-é – ellentmondás.

A Neumann-féle rendszámfogalom

Definiáljuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, a nála kisebb rendszámok halmazaként. Ily módon minden rendszám halmaz, mégpedig olyan, amit az $\in$ reláció jólrendez, és minden rendszám rendszáma saját maga. Az első néhány rendszám: $\emptyset$, $\{\emptyset\}$, $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, …

Megjegyzés

Valójában nem definiálhatjuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, mert ahhoz, hogy az működjön, már szükség van rendszámokra, tehát fölhasználnánk őket önmaguk definiálásához. Ezért kerülő úton kell definiálni a Neumann-féle halmazokat:
Egy X halmazt Neumann-rendszámnak nevezünk, ha

• X tranzitív, azaz $y \in x \in X$ esetén $y \in X$;
• $\left( X, \in \right)$ jólrendezett.

Az így definiált Neumann-rendszámok ugyanazok, mint amiket transzfinit rekurzióval építenénk föl. Azt, hogy ez megfelelő rendszámdefiníció, a következő tétel garantálja: Minden jólrendezett halmazhoz egyértelműen létezik vele izomorf Neumann-rendszám.