Rendszám (halmazelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egymással izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonságát nevezzük rendszámnak. Azaz, minden jólrendezett halmaznak van rendszáma és két jólrendezett halmaz rendszáma pontosan akkor azonos, ha izomorfak.

Alaptulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Rendszámok rendezése: azt mondjuk, hogy az α rendszám kisebb a β rendszámnál (jelben α<β), ha a következő igaz: ha (A,<) egy α rendszámú jólrendezett halmaz, (B,<) egy β rendszámú jólrendezett halmaz, akkor (A,<) izomorf (B,<) egy elem által alkotott kezdőszeletével. Erre a relációra a következő tulajdonságok teljesülnek:

  • irreflexivitás: α<α sosem igaz,
  • tranzitivitás: ha α<β<γ akkor α<γ,
  • trichotómia: ha α, β rendszámok, akkor α<β, α=β és β<α közül pontosan az egyik igaz.
  • jólrendezés: rendszámok tetszőleges nemüres halmazának vagy osztályának van legkisebb eleme.
  • egy α rendszámnál kisebb rendszámok jólrendezett halmazt alkotnak, melynek rendszáma α.

Rendszámok osztályozása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rendszámokat a náluk kisebb rendszámok A halmaza alapján osztályozzuk.

  • Ha A üres, akkor a rendszám a nulla.
  • Ha A-nak van legnagyobb β eleme, akkor a szóban forgó rendszám β rákövetkezője.
  • Egyébként pedig limeszrendszám.

Minden véges (nem nulla) rendszám rákövetkező rendszám. A legkisebb limeszrendszám a szokásos rendezéssel ellátott természetes számok rendszáma; jele az ω.

Műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Összeadás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

az összeadandó rendszámok reprezentáns halmazait egymás mögé írjuk.

Formálisan: ha \langle(A_i,<_i):i\in B\rangle jólrendezett halmazok jólrendezett sorozata, akkor az A=\{\langle i,a_i\rangle:i\in B, a_i\in A_i\} halmazon a lexikografikus rendezés (\langle i,a_1\rangle<\langle j,a_2\rangle, ha i<j\vee(i=j\wedge a_1<_ia_2)) jólrendezés; ennek rendszámát nevezzük \left(A_i,<_i\right) rendszámai összegének.

Ebből következik, hogy a rendszámok összeadása nem kommutatív, hiszen \omega +1 \neq 1+ \omega. Ez onnan látható hogy az előbbi rendszámnak megfelelő halmazban van legnagyobb elem, míg az utóbbinak megfelelőben nincs. (Mellesleg 1+ \omega = \omega.)

Szorzás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hatványozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rendszámok nem alkotnak halmazt,[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

hiszen akkor ez az R halmaz jólrendezett lenne, lenne egy α rendszáma, ami eleme lenne R-nek és egyenlő lenne R nála kisebb elemei halmazának rendszámával, ami kisebb, mint R-é – ellentmondás.

A Neumann-féle rendszámfogalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Definiáljuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, a nála kisebb rendszámok halmazaként. Ily módon minden rendszám halmaz, mégpedig olyan, amit az \in reláció jólrendez, és minden rendszám rendszáma saját maga. Az első néhány rendszám: \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, …

Megjegyzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valójában nem definiálhatjuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, mert ahhoz, hogy az működjön, már szükség van rendszámokra, tehát fölhasználnánk őket önmaguk definiálásához. Ezért kerülő úton kell definiálni a Neumann-féle halmazokat:
Egy X halmazt Neumann-rendszámnak nevezünk, ha

  • X tranzitív, azaz y \in x \in X esetén y \in X;
  • \left( X, \in \right) jólrendezett.

Az így definiált Neumann-rendszámok ugyanazok, mint amiket transzfinit rekurzióval építenénk föl. Azt, hogy ez megfelelő rendszámdefiníció, a következő tétel garantálja: Minden jólrendezett halmazhoz egyértelműen létezik vele izomorf Neumann-rendszám.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]