Dimenziótétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A dimenziótétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá. Ha φ lineáris leképezés egy n dimenziós térből valamely másikba hat, Ker φ = { v | φv = 0 } a φ magtere és Im φ a leképezés értékkészlete, mint altér, akkor

dim Ker φ + dim Im φ = n

Ugyanazon terek között ható két leképezés közül, amelyik magtérdimenziója nagyobb, annak a képtérdimenziója kisebb.

A tétel a dimenziók szerepeltetése nélkül tovább általánosítható nem feltétlenül véges dimenziós V1 térre is, a következő formában:

Ker φ ⊕ Im φ ≅ V1

A tétel kapcsotban van az első izomorfizmustétellel és az Abel-csoportok közötti morfizmusok dekompozíciós tételével.[1]

Dimenziótétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha V1 véges dimenziós, V2 pedig tetszőleges lineáris tér, továbbá φ:V1 \to V2 lineáris leképezés, akkor

\mathrm{dim\,Ker}\,\varphi+\mathrm{dim\,Im}\,\varphi=\mathrm{dim}\,V_1

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen dim V1 = n, dim Ker φ = kn és legyen Ker φ egy bázisa:[2]

\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k\}

Mivel ez lineárisan független vektorrendszer V1-ben, ezért vannak

\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_m\quad\quad (m=n-k)\,

vektorok, melyekkel

\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k,\mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_m\}

V1 bázisa.

Belátjuk, hogy a cj-k képvektoraiból álló

F=\{\varphi(\mathbf{c}_1),\ldots,\varphi(\mathbf{c}_m)\}

vektorrendszer Im φ bázisát alkotja. Ezután már készen vagyunk, mert f elemszáma így m lesz és kapjuk: dim Im φ = m = n - k = dim V1 - dim Ker φ.

(1) F generálja Im φ-t. Legyen ugyanis φ(v) tetszőleges Im φ-beli vektor alkalmas vV1-vel. Ekkor v-hez egyértelműen léteznek a λi, μj skalárok, hogy:

\mathbf{v}=\lambda_1\mathbf{b}_1+\ldots+\lambda_n\mathbf{b}_k+\mu_1\mathbf{c}_1+\ldots+\mu_m\mathbf{c}_m

ezért

\varphi(\mathbf{v})=\varphi(\lambda_1\mathbf{b}_1+\ldots+\lambda_k\mathbf{b}_k+\mu_1\mathbf{c}_1+\ldots+\mu_m\mathbf{c}_m)=
=\lambda_1\varphi(\mathbf{b}_1)+\ldots+\lambda_k\varphi(\mathbf{b}_k)+\mu_1\varphi(\mathbf{c}_1)+\ldots+\mu_m\varphi(\mathbf{c}_m)=
=\mathbf{0}+\mu_1\varphi(\mathbf{c}_1)+\ldots+\mu_m\varphi(\mathbf{c}_m)

azaz φ(v) már az F-beli vektorok lineáris kombinációjaként is előáll. Az előbb felhasználtuk, hogy a bi vektorok képe mind 0.

(2) F lineárisan független. Tegyük fel, hogy F elemei előállítják a 0 vektort alkalmas skalárokkal. Ekkor

\mathbf{0}=\mu_{1}\varphi(\mathbf{c}_{1})+\ldots+\mu_k\varphi(\mathbf{c}_m)=\varphi(\mu_1\mathbf{c}_1+\ldots+\mu_m\mathbf{c}_m)

azaz

\mu_1\mathbf{c}_1+\ldots+\mu_m\mathbf{c}_m\in \mathrm{Ker}\,\varphi

Eszerint az előbbi vektor a Ker φ báziselemeinek egyértelmű lineáris kombinációjaként is előáll:

\lambda_1\mathbf{b}_1+\ldots+\lambda_k\mathbf{b}_k=\mu_1\mathbf{c}_1+\ldots+\mu_m\mathbf{c}_m

amiből

\mathbf{0}=\lambda_1\mathbf{b}_1+\ldots+\lambda_k\mathbf{b}_k-\mu_1\mathbf{c}_1-\ldots-\mu_m\mathbf{c}_m

de a vektorok függetlenségéből következik, hogy ekkor

0=\lambda_1= \ldots =\lambda_k=-\mu_1=\ldots=-\mu_m

speciálisan

\mu_1=\ldots=\mu_m=0.

Megjegyzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bizonyításól az is következik, hogy

  1. Ker φ és a cj-k generálta altér direkt összegként állítják elő V1-et:
    \mathrm{Ker}\,\varphi\;\oplus\;\langle \mathbf{c}_1,\ldots,\mathbf{c}_m\rangle =V_1
  2. φ a cj-k generálta altérre leszűkítve az Im φ-be képező lineáris izomorfizmus.

Emiatt pedig V1 a mag- és a képtér direkt összegével izomorf:

\mathrm{Ker}\,\varphi\;\oplus\; \mathrm{Im}\,\varphi\cong V_1

Direktösszeg-felbontás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az univerzális algebra terminusaiban érvényes, hogy

\{0\}\quad \overset{\mathrm{id}}{\longrightarrow} \quad\mathrm{Ker}\,\varphi \quad\overset{f=\mathrm{id}}{\longrightarrow} \quad V_1\quad \overset{g=\varphi}{\longrightarrow} \quad \mathrm{Im}\,\varphi \quad\overset{0}{\longrightarrow} \quad \{0\}

egy rövid egzakt sorozat, azaz Im f = Ker g, hisz mindkettő a Ker φ.

Emiatt az Abel-csoportokra vonatkozó kategóriaelméleti dekompozíciós lemma gondolatmenetével is előállíthatjuk a direkt összeget.

Legyen Im φ egy bázisa

\{\varphi(\mathbf{c})\}_{\mathbf{c}\in C}

alkalmas cCV1 vektorokkal. Ekkor C lineárisan független vektorrendszer, mert ha összefüggő volna, akkor a képe is összefüggő volna, ami viszont Im φ bázisa, tehát nem lehet összefüggő. Ez azt jelenti, hogy a

(\varphi(\mathbf{c}))_{\mathbf{c}\in C}

függvény lineáris izomorfizmus definiál a C által kifeszített altéren. Ebben az esetben is

V_1=\mathrm{Ker}\,\varphi\;\oplus\;\langle C\rangle

és

V_1\cong\mathrm{Ker}\,\varphi\;\oplus\;\mathrm{Im}\,\varphi

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. Egy A mátrix esetén a v \mapsto Av lineáris leképezés. Ennek a leképezésnek a magját az A mátrix magjának nevezzük.

Az

A=\begin{bmatrix}2 & 1 & -1\end{bmatrix}

magja nem más, mint egy R3 egy origón áthaladó síkja:

\mathrm{Ker}\,A=\{(x,y,z)\mid 2x+y-z=0\}\,

A dimenziótétel segíthet abban, hogy megállapítsuk, hogy a sík valóban kétdimenziós. Világos, hogy Im A = rang A = 1, mert egyetlen sorból álló mátrixról van szó, így dim Ker A = 3 - 1 =2.

2. A dimenziótétel végtelen dimenziós terekre is igaz. Ekkor persze ugyanazok a paradoxonok lépnek fel, mint a számosságaritmetikában.

A T testbeli értékű sorozatok Tω terében az

(a_0,a_1, ..., a_n, ...)\overset{\lambda}{\mapsto} (a_0, a_2, ..., a_{2n},...)

leképezés lineáris,

\mathrm{Ker}\,\lambda = \{(0, a_1, 0, a_3, ...)\mid a_1, a_3, ... \in T\}, \quad\quad \mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}\,\lambda =\aleph_0
\mathrm{Im}\,\lambda = T^{\omega},\quad\quad \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}\,\lambda =\aleph_0

így a dimenziótétel formulája átmegy az

\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0\,

egyenlőségbe.

Bár Im λ az egész tér mégis λ (a végesdimenziósokkal ellentében) nem injektív, mivel Ker λ ≠ {0}.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Itt az angolban Splitting Lemma néven ismert tételről van szó, lásd: Mac Lane, Birkhoff, Algebra, p. 328.
  2. Freud, Lineáris algebra könyvben található gondolatmenetét követjük. Lásd: p. 146

Felhasznált irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Freud Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1998.
  • Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Chelsea, 1999. ISBN 0-8218-1646-2

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]