Hamel-bázis

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Hamel-bázis a lineáris algebrában vektorok olyan (nem feltételnül véges számosságú) halmaza, amelyek lineáris kombinációjaként a vektortér bármely eleme egyértelműen áll elő. A „Hamel-bázis” elnevezés általában annak a kihangsúlyozására használatos, hogy nem véges dimenziós lineáris terekben kívánjuk használni a „bázis” fogalmát.

A kiválasztási axióma segítségével bizonyítható, hogy minden vektortérnek van bázisa, értsd Hamel-bázisa. Számosságaritmetikai eszközökkel igazolható például, hogy két lineáris tér pontosan akkor izomorf, ha Hamel-bázisuk azonos számosságú. Ebből következik, hogy végtelen dimenziós terek esetén is értelmes dimenzióról beszélni azaz (bármely) bázisa számosságáról.

Tetszőleges lineáris terekben végtelen sok vektor összegét nem lehet definiálni. Ezzel szemben normált vagy skalárszorzatos terekben értelmezhető (a konvergencia segítségével) a „végtelen összeg”. Hilbert-térben az ortogonális sorozat, Banach-térben a Schauder-bázis fogalma játszhatja az olyan „bázis” szerepét, mely adott vektort végtelen sok tag összegének segítségével állít elő. Ezek a bázisfogalmak azonban nincsenek kapcsolatban a vektortér Hamel-dimenziójával, minthogy mindkettő csak megszámlálható számosságú.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vektorok egy BV halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A definíció folyományaként

Állítás
Egy v1,…,vn vektorrendszer akkor és csak akkor bázis, ha a vektortér minden eleme egyértelműen előáll a v1,…,vn vektorok lineáris kombinációjaként.

Egy adott V0 vektortérben B bázis, akkor és csak akkor, ha a következő, ekvivalens feltételek közül valamelyik teljesül.

  1. B maximális lineárisan független vektorrendszer V-ben.
  2. B minimális generátorrendszer V-ben.
Feltétel bázis kiválasztására, illetve bázisra való kiegészítésre
  • Egy V0 vektortér bármely (véges) generátorrendszere tartalmaz bázist.
  • Ha egy V vektortérnek van (véges) generátorrendszere, akkor bármely lineárisan független rendszer kiegészíthető bázissá.

Koordináták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy V vektortérben, egy rögzített b1,…,bn bázis mellett tetszőleges vV vektor egyértelműen írható fel

\mathbf{v}=\alpha_1\mathbf{b}_1+\ldots+\alpha_n\mathbf{b}_n

alakban.
Ekkor az  \alpha_i\ skalárok a v vektor koordinátái, a b1,…,bn bázisra vonatkozólag.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
  • hasonlóan  \mathbb{E}^3 -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas

\mathbf{i}=
\begin{bmatrix}
  1 \\
  0 \\
  0
\end{bmatrix},
\mathbf{j}=
\begin{bmatrix}
  0 \\
  1 \\
  0
\end{bmatrix},
\mathbf{k}=
\begin{bmatrix}
  0 \\
  0 \\
  1
\end{bmatrix}
  • \mathbb{R}^n-ben ortonormált bázist alkot az

\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
  1 \\
  0 \\
  \vdots \\
  0
\end{pmatrix},
\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
  0 \\
  1 \\
  \vdots \\
  0 
\end{pmatrix},\ldots,
\mathbf{e}_n=
\begin{pmatrix}
  0 \\
  0 \\
  \vdots \\
  1 
\end{pmatrix}
vektorhalmaz, mely \mathbb{R}^n standard bázisa.
  • \mathrm{F}^{n \times k} -ban bázis

\begin{pmatrix}
  1      & \cdots & 0      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  0      & \cdots & 0
\end{pmatrix}_{n\times k},
\begin{pmatrix}
  0      & 1      & \ldots & 0      \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  0      & 0      & \cdots & 0
\end{pmatrix}_{n\times k},\ldots,
\begin{pmatrix}
  0      & \cdots & 0      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  0      & \cdots & 1
\end{pmatrix}_{n \times k}
ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.
  • az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az
\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}
vektorok.
  • a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa: \{1,x,x^2,\ldots,x^k\}

Kicserélési tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gn generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely fi-hez található olyan gj, hogy
\mathbf{f}_1,\ldots,\mathbf{f}_{i-1},\mathbf{g}_j,\mathbf{f}_{i+1},\ldots,\mathbf{f}_n
is lineárisan független rendszer.
Bizonyítás
Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f1-re ez nem igaz, vagyis az f2,…,fn vektorokhoz akármelyik gj-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f2,…,fn független rendszerből előállítható g1,..., gn generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f2,…,fn bázis. Így V minden eleme, speciálisan f1 is előáll f2,…,fn lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f1,…,fn lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel
Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gk generátorrendszer egy V vektortérben.
Ekkor nk.
Bizonyítás
Első lépésben f1-et cseréljük ki valamelyik gj-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f2-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az fi-k el nem fogynak.
Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.
Következmény
Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két (Hamel-)bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]