Frattini-részcsoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A csoportelméletben Frattini-részcsoport a neve egy csoport maximális részcsoportjai metszetének. A G csoport Frattini-részcsoportját hagyományosan \Phi(G)-vel jelöljük. Ezt a részcsoportot Giovanni Frattini olasz matematikus definiálta először 1885-ben egy a témával foglalkozó cikkben.[1] A kommutatív gyűrűk Jacobson-radikáljának analógja.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy G csoport M valódi részcsoportját maximális részcsoportnak nevezzük, ha nincs G-ben olyan L részcsoport, hogy M<L<G. Jelölje \Phi(G) az összes M_i maximális részcsoport \bigcap M_i metszetét. Akkor \Phi(G), mint részcsoportok metszete, maga is részcsoport, és ezt nevezzük G Frattini-részcsoportjának.[2][3]

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Z_{49}-nek, a 49 elemű ciklikus csoportnak a hetedrendű elemek által generált Z_7 csoport a Frattini-részcsoportja, hiszen ebben a csoportban csak ez az egy maximális részcsoport van.

A Klein-csoportban három maximális részcsoport van; ezek mindhárman kételeműek, és így metszetük csak a triviális csoport lehet. A Klein-csoport Frattini-részcsoportja tehát az egyelemű csoport.

Az egész számok additív csoportjában tetszőleges p prímszámra maximális részcsoportot alkotnak p többszörösei. Ezek metszete egyelemű (csak a 0-t tartalmazza), így ennek a csoportnak is triviális a Frattini-részcsoportja.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel az automorfizmusok a maximális részcsoportokat maximális részcsoportokba viszik, a Frattini-részcsoportot magát helyben hagyják, és így \Phi(G) karakterisztikus részcsoportja G-nek, és így persze \Phi(G) normálosztó is.[2]

Ha G véges, akkor \Phi(G) nilpotens csoport.[3]

A G véges p-csoport Frattini-csoportja megkapható a p-edik hatványok részcsoportjának és a kommutátor-részcsoportnak a komplexusszorzataként.[4]

Legyen G véges csoport, aminek Frattini-csoportja véges! Jelölje G centrumát Z, és kommutátorcsoportját G' ! Ekkor Z indexe nem lehet nagyobb G' rendjének négyzeténél.[5]

Nyitott kérdés, hogy két csoport direkt szorzatának Frattini-részcsoportja megegyezik-e a Frattini-részcsoportjaik direkt szorzatával.[2]

Nemgenerátorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A G csoport S részhalmaza generátorhalmaz, ha G minden eleme előáll S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. Valamely x elemet nemgenerátornak hívunk, ha minden x-et tartalmazó S generátorhalmaz az x elem nélkül is generálja a csoportot. Az egységelem például minden csoportban nemgenerátor. Egy csoport nemgenerátorai maguk is csoportot alkotnak, és ez a csoport éppen a Frattini-részcsoport.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Frattini, Giovanni (1885.). „Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni”. Rendiconti dell'Accademia dei Lincei 4 (1), 281-5, 455-7. o.  
  2. ^ a b c Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
  3. ^ a b Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68194-7 (1994) 
  4. BZ Ádám a csoportalgebrákról
  5. http://www.renyi.hu/kozerdeku/2006_beszamolo.pdf