Szabad csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a G csoport szabad csoport, ha létezik egy olyan S részhalmaza G-nek, hogy G minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a st-1 = su-1ut-1 jellegű „bővítésektől” eltekintünk.)

Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a szabad Abel-csoport.

Konstrukció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az F_S szabad csoport S generátorhalmazzal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust: Nevezzük szónak az S elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha S={a, b, c}, akkor az alábbi például egy szó:

a b c^{-1} c a^{-1} c\,

Ha egy s \in S elem közvetlenül az inverze mellett szerepel, akkor a szó leegyszerűsíthető az ss-1 pár elhagyásával:

a b c^{-1} c a^{-1} c\;\;\longrightarrow\;\;a b \, a^{-1} c

Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor redukáltnak nevezik. Az FS szabad csoport ekkor definiálható az összes S-ből származtatott redukált szó összességeként.


Ennek pontos bevezetése:
Tekintsük az S-ből álló direktszorzatok unióját a következő módon:  \bigcup_{i=1}^n \left( \times_{j=1}^i \left( S \right) \right) , így megkapjuk az összes legfeljebb n hosszú szót. Értelemszerűen a szavak hossza a direktszorzat komponenseinek száma legyen (pontos definíciója rekurzívan történik), valamint kiegészíthetjük az ún. üres szóval. Az "egymás után írás" műveletét úgy definiálhatjuk, hogy a direkt szorzatban hozzávesszük a második szó komponenseit, az üres szó esetén nem történik változás.

Ha kommutativitást is szeretnénk szabad csoportunkban, akkor két szó egyenlősége definiálható úgy is, hogy redukált szavaik csak a betűk sorrendjében különböznek. Természetesen ez is definiálható pontosan.

Elemi tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabad csoportok néhány tulajdonsága a definícióból közvetlenül adódik:

  • Minden G csoport valamely F(S) szabad csoport homomorf képe, ahol S a generátorhalmaz. A természetes f:F(S) \to G leképezés epimorfizmus. Ebből következik az állítás.
  • Ha S több, mint egy elemmel rendelkezik, akkor F(S) nem kommutatív, azaz nem Abel-csoport.
  • Két F(S), F(T) szabad csoport akkor és csak akkor izomorf, ha S és T számossága megegyezik. Ezt a számosságot nevezik a szabad csoport rangjának is. Így tehát minden k számossághoz, az izomorfizmus erejéig, pontosan egy szabad csoport létezik.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]