Generátorhalmaz
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
Az absztrakt algebrában egy G csoport S részhalmaza generátorhalmaz, ha G minden eleme előáll S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként.
Egy G csoport S részhalmaza által generált részcsoportot, tehát azt a legkisebb csoportot, amely tartalmazza az S halmazt, így jelöljük: <S>. Ez a legkisebb csoport egyértelműen létezik az S halmazt tartalmazó részcsoportok metszeteként. Az <S> részcsoport pontosan azokat az elemeket tartalmazza, amelyek előállnak S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként.
Ha G=<S>, akkor S generátorhalmaza a G csoportnak, más szóval S generálja G-t. Az S halmaz elemeit nevezik generátoroknak is. Ha S az üres halmaz, akkor <S>={e} az egységelemet tartalmazó csoport, mert az üres szorzat definíció szerint az egységelem.
Ha S csak egyetlen x elemet tartalmaz, akkor használható a <x> jelölés is a generált csoportra, ami nem más, mint x hatványainak halmaza, tehát az x elem által generált ciklikus csoport. Ha <x>=G, akkor azt mondjuk, hogy x generálja a csoportot. Egy x elem pontosan akkor generálja a csoportot, ha x rendje |G|.
Tartalomjegyzék |
[szerkesztés] Végesen generált csoport
Ha S véges, akkor G=<S> végesen generált csoport. Sok tétel van, ami végesen generált csoportokra igaz, de általában csoportokra nem áll fenn.
Minden véges csoport végesen generálható, hiszen G=<G>. Például az egész számok halmaza az összeadás műveletre nézve végesen generálható például a <-1> vagy a <1> konstrukciókkal. Ha 
egészek relatív prímek, azaz lnko(m, n)=1, akkor az {m, n} halmaz is generálja az egész számok halmazát. Viszont a racionális számok halmaza az összeadás műveletére nézve nem generálható végesen.
[szerkesztés] Frattini részcsoport
Egy érdekes rokon terület a nemgenerátorok elmélete. Valamely x elemet nemgenerátornak hívunk, ha minden x-et tartalmazó S generátorhalmaz az x elem nélkül is generálja a csoportot. Az összes nemgenerátor halmaza is G egy részcsoportját alkotja. Ezt a részcsoportot nevezik Frattini részcsoportnak.
[szerkesztés] Példák
[szerkesztés] Lásd még
 |
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle! |
