Lánctört

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lánctört egy olyan kifejezés, aminek alakja

b_0 + \frac{a_1}{\displaystyle b_1+\frac{a_2}{\displaystyle b_2+\frac{a_3}{\displaystyle b_3+\frac{a_4}{b_4+\cdots}}}} = b_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \frac{a_4|}{|b_4} + \ldots

Egy lánctört egyszerű, vagy reguláris, ha a_1 = a_2 = \ldots = 1, egyébként általános. A lánctörtek vizsgálatakor gyakran elhagyják az egész értékű b_0-t.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lánctört fogalma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy véges lánctört[1] egy

\frac{a_1}{\displaystyle b_1+\frac{a_2}{\displaystyle b_2+\frac{a_3}{\displaystyle b_3+\frac{a_4}{b_4+\cdots}}}} vagy \frac{1}{\displaystyle b_1+\frac{1}{\displaystyle b_2+\frac{1}{\displaystyle b_3+\frac{1}{b_4+\cdots}}}}

alakú emeletes tört. A két forma átalakítható egymásba, ezért elég a második típust tekinteni. Sőt, ilyenből van olyan is, amiben a nevezők mind pozitív egészek: negatív számok esetén az egész tört elé tesszük a negatív előjelet. Ezekkel a feltételekkel a lánctört az

[b_1,b_2,b_3,b_4,\ldots]

alakban is írható, ahol a zárójelben levő számok a lánctört jegyei.

Függvénysorozat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lánctörtek[2] \Big(\left(\{a_n\},\{b_n\}\right),\{f_n\}\Big) alakú rendezett párok, ahol \{a_n\}^{\infty}_{n=1}, \{b_n\}^{\infty}_{n=1} komplex számok sorozata, ahol a_n \not= 0 minden n-re. \{f_n\}^{\infty}_{n=1} egy sorozat a kiterjesztett komplex síkon, ahol

f_n = s_1 \circ s_2 \circ \ldots \circ s_n(0)

ahol s_k-k a komplex síkon értelmezett lineáris törtfüggvények:

s_k:\mathbb{C}_\infty \rightarrow \mathbb{C}_\infty, z \mapsto \frac{a_k}{b_k + z} \qquad (k=1,2,\ldots)

Így

f_n = \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \ldots + \frac{a_n|}{|b_n}.

a_n az nedik részszámláló, b_n az n-edik résznevező, és f_n a lánctört n-edik közelítése.

Típusaik[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Véges lánctörtek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy lánctört véges, ha egy bizonyos n szám után véget ér. Egy egyszerű példa:

\frac{1729}{314} = [5;1,1,38,1,3] = 5 + \frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|2}+\frac{1|}{|38}+\frac{1|}{|1}+\frac{1|}{|3},

ahol a jegyek meghatározhatók az euklideszi algoritmussal.

Végtelen lánctörtek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a lánctörtnek végtelen sok jegye van, akkor végtelen. Ezek értéke irracionális; a résztörtek közelítést adnak erre az értékre. Ha a n minden n-re egy, és a nevezők periodikusan váltakoznak, akkor a lánctört periodikus. Lagrange tétele szerint egy lánctört akkor és csak akkor periodikus, ha van olyan racionális együtthatós másodfokú egyenlet, aminek megoldása.

Irracionalitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vezessük be a következő jelölést:

\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \frac{a_4|}{|b_4} + \ldots

legyen b0 = 0, és tekintsünk egyszerű lánctörteket.

Legyenek továbbá

\frac{u_0}{v_0} = \underset{i=r}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}
\frac{u_1}{v_1} = \underset{i=r+1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}
\frac{u_2}{v_2} = \underset{i=r+2}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}

satöbbi.

Ezzel

\frac{u_k}{v_k} = \frac{1|}{|b_r} + \frac{u_{k+1}|}{|v_{k+1}} also \frac{u_{k+1}}{v_{k+1}} = \frac{v_k - u_k b_r}{u_k}

ahonnan

v_{k+1} = u_k

így

\frac{u_{k+1}}{v_{k+1}} = \frac{v_k - u_k b_r}{u_k}

ezzel

v_{k+1} = u_k.

\frac{u_k}{v_k}<1, tehát v_0 > u_0 > u_1 > u_2 > u_3 \ldots. Ha egy i indextől kezdve racionálisak lennének, akkor ui, ui+1, ui+2, … egyre kisebb lenne, és a nullához kellene tartania, és így a lánctört nem lehet véges.

Periodikus lánctörtek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy lánctört periodikus, ha vannak k, l számok, hogy x_{\lambda+k} = x_\lambda minden \lambda \geq l + 1 számra. A legkisebb ilyen k a lánctört periódusa.[3] Ekkora lánctört az

x = [x_0;x_1,\ldots,x_l,\overline{x_{l+1},\ldots,x_{l+k}}]

alakba írható.

A lehető legkisebb l-re az x_0, \ldots, x_l sorozat a lánctört előszakasza, aminek hossza l+1. Joseph-Louis Lagrange egy tétele szerint egy lánctört pontosan akkor periodikus, ha értéke egy racionális együtthatós másodfokú egyenlet megoldása.

Példák:

Legyen x = [1;\overline{1,2}]. Mivel egynél nagyobb, ezért vonjuk le az egészrészt:

y:= x-1.

Ekkor y = (x - 1) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + y}}.

Átrendezéssel y= \frac{2+y}{3+y},

így y^2+2y+1=3

amiből y+1 = \pm\sqrt{3}.

Mivel y>0,

azért  x = y+1= \sqrt{3}.

Hasonlóan mutatható meg, hogy \sqrt{2} = [1;2,2,2,2,\ldots]. Fejtsük x = \sqrt{2}-t lánctörtbe! \sqrt{2} > 1, így különvesszük az egészrészt: x = 1+ \sqrt{2} - 1

Felírjuk \sqrt{2} - 1-t, mint reciprokának reciprokát. Kapjuk:

x = 1+ \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2} - 1}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}.

A harmadik binomiális tétel miatt  \frac{1}{a-b} = \frac{a+b}{a^2-b^2},

ennélfogva \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2-1}.

Mivel x = \sqrt{2}, azért írhatjuk, hogy:

x = 1 + \frac{1}{1 + x}, azaz (x - 1) =\frac{1}{2 + (x - 1)}.

Tehát x-1 lánctörtbe fejtése (x-1) = (\sqrt{2}-1) = [0;2,2,\ldots], és ehhez már csak egyet kell adni, hogy négyzetgyök kettőt kapjunk.

Nem periodikus lánctörtek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A végtelen, nem periodikus törtek olyan irracionális számoknak felelnek meg, amik vagy transzcendensek, vagy kettőnél magasabb fokú algebraiak.

Példa: köbgyök kettő lánctörtes alakja :\sqrt[3]{2} = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, \dots].

Az e Euler-konstans lánctörtbe fejtve: :e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots],

ahol is a könnyen felismerhető minta folytatódik a végtelenségig.

Különlegesen fontos a π lánctörtbe fejtésének a π irracionális voltának és approximálhatóságának bizonyításában.[4][5] A lánctört jegyeiben semmilyen minta nem ismerhető fel:

\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]

Lambert megtalálta a tangensfüggvény lánctörtbe fejtését:

\mathrm{tg} z = \frac{z|}{|1} + \frac{z^2|}{|3} + \frac{z^3|}{|5} + \frac{z^4|}{|7} + \ldots = \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{z^i}{2i-1}

és ez alapján belátta, hogy a nullától különböző racionális számok tangense irracionális. Továbbá bebizonyította, hogy π irracionális, amihez felhasználta Adrien Marie Legendre egy lemmáját, és azt, hogy \mathrm{tg} \frac{1}{4}\pi = 1[6]

Az \frac{\pi}{4} = \frac{1|}{|1} + \frac{1^2|}{|2} + \frac{3^2|}{|2} + \frac{5^2|}{|2} + \ldots általános lánctörtbe fejtést 1656-ban Lord William Brouncker fedezte fel a Wallis-szorzat segítségével.[7] Ez a lánctört azonban az egyszerű lánctörtekkel ellentétben nagyon lassan konvergál.

Példák a konvergenciára:
Piros: A π
Kék: A γ Euler-Mascheroni-konstans
Zöld: Kettő köbgyöke (\sqrt[3]2)
Fekete: Hincsin-konstans
Ellenpéldák a konvergenciára:
Piros: Az e Euler—szám
Kék: Négyzetgyök kettő(\sqrt2)
Zöld: Négyzetgyök három (\sqrt3)
Fekete: Hincsin-konstans

A \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1a_2a_3\dots a_n} kifejezés majdnem minden valós szám esetén ugyanahhoz a számhoz konvergál. Ez a Hincsin-konstans. Ez megfelel az a_k lánctörtjegyek mértani közepének. A Hincsin-konstans közelítő értéke 2{,}685452001\dots, és nem ismert, hogy irracionális-e.

A majdnem mindenütt kifejezésben a kivételeket azok a számok jelentik, amik lánctörtes alakjában a jegyek felismerhető minta szerint következne. Ilyen például az e szám négyzetgyöke és négyzete, aminek első néhány lánctörtes jegye

e^2=[7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, 12, 54, \dots]

Lánctörtbe fejtés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy α pozitív szám [a_0;a_1,a_2,\ldots] lánctörtes alakja egy lánctörtbefejtő algoritmussal számítható, ami az euklideszi algoritmus kiterjesztése a valós számokra.

Az algoritmus kezdetekor \alpha_0 = \alpha . A lánctört minden egyes jegyéhez a következőket kell tenni:

  1. Az i-edik jegy, ai αi egészrésze.
  2. \alpha_{i+1} = \frac{1}{\alpha_i - \lfloor \alpha_i \rfloor}

Racionális α esetén az egyik ai egész szám lesz, a lánctört utolsó jegye. Ezzel az eljárás véget ér. Irracionális α szám estén meg kell adni egy i lépésszámot, különben az algoritmus nem ér véget.

Példaként tekintsük négyzetgyök kettő lánctörtbe fejtésáét a második jegyig:

\begin{align}
\alpha_0 &= \sqrt{2}\\
     a_0 &= 1 \qquad (\text{da } 1 \le \sqrt{2} < 2)\\
\alpha_1 &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1}\\
         &= \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)}\\
         &= \sqrt{2} + 1\\
     a_1 &= 2 \qquad (\text{da } 2 \le \sqrt{2} + 1 < 3)\\
\alpha_2 &= \frac{1}{(\sqrt{2} + 1) - 2}\\
         &= \frac{1}{\sqrt{2} - 1}\\
         &= \sqrt{2} + 1\\
     a_2 &= 2 \qquad (\text{da } 2 \le \sqrt{2} + 1 < 3)
\end{align}

Eszerint négyzetgyök kettő lánctörtes alakja [1;2,2,\ldots]

Kiértékelés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Véges lánctörtekre kiszámítható a pontos érték; a végtelen lánctörtek értéke közelítőleg adható meg.

Felszálló módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lánctörtet alulról felfelé oldja meg:

f_{n,n} = \frac{a_n}{b_n}, f_{j,n} = s_j (f_{j+1,n}) = \frac{a_j}{b_j + f_{j+1,n}}

minden j=n-1, n-2, \ldots, 1-re.

Leszálló módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A lánctört kiértékelését az első résztörtnél kezdi. Az fn közelítések egymásba skatulyázott intervallumokat adnak.

\begin{pmatrix}p_{-1} \\ q_{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}p_0\\ q_0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix},{p_n \choose q_n} = a_n {p_{n-2} \choose q_{n-2}} + b_n {p_{n-1} \choose q_{n-1}}

minden n = 1,2, \ldots-re.

Ezzel f_n = \frac{p_n}{q_n} az n-edik közelítő tört.

Konvergencia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy lánctört konvergens, ha létezik a

\lim_{n \rightarrow \infty} f_n = f

határérték. Ekkor ez az f a lánctört értéke. Ha fn nem korlátos, azaz minden C \in \R_{\geq 0}-hez van n, hogy |f_n| \geq C minden n \geq n_0-ra, akkor nem beszélhetünk a szokásos értelemben vett lánctörtről.

Ekvivalens lánctörtek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} és a \underset{i=1}{\overset{\infty} {\mathbf{K}}} \frac{a^*_i}{b^*_i} lánctörtek ekvivalensek, ha mindegyik közelítésük egyenlő.

\underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} = \underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a^*_i}{b^*_i} minden n-re.

Legyen \{c_n\}_{n \geq 0} \subseteq \mathbb{C} \setminus \{0\}, c_0 = 1. Mivel itt nem közönséges, hanem lánctörtekről van szó, ezért itt nem szabad egyszerűsíteni. Ekkor teljesülnek e következő ekvivalenciák:

\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} ist äquivalent zu \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{c_{i-1} c_i a_i}{c_i b_i}

Ebből

\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} ekvivalens \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{b_{i-1}^{-1} b_i^{-1} a_i}{1}-gyel,ha minden n-re b_n \not= 0

és :\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} ekvivalens \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i c_i}-vel, ahol c_1 = a_1^{-1}, c_n = (a_n c_{n-1})^{-1} minden n=2,3,\ldots-ra.

Konvergenciakritériumok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A leszálló kiértékelésből

p_{n-1}q_n-p_nq_{n-1} = (-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n

minden n=1,2,\ldots-ra.

Ezzel két lánctört különbsége

f_n - f_{n-1} = (-1)^{n+1} \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{q_{n-1} q_n},

így a lánctörtek közelítő értékei pozitív jegyek esetén felváltva kisebbek és nagyobbak, mint a pontos érték.[8] Következik, hogy a \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} lánctört fn közelítő értéke megegyezik a

\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{q_{n-1} q_n} sor n-edik részösszegével. Tehát \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} akkor és csak akkor konvergál, ha a sor konvergens.

Reguláris lánctörtek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen bn>0 minden n-re. Ekkor a \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i} lánctört akkor és csak akkor konvergál, ha a \sum_{i=1}^\infty b_i sor divergál.

Konvergenciasebesség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lochs tétele szerint majdnem minden nulla és egy közötti számra hosszú távon egy lépés \tfrac{\pi^2}{6\ln 2\ln 10} \approx 1.03064 lánctörtjegyet ad. Ezzel a lánctört nem sokkal hatékonyabb, mint a tizedestört alak.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A valós számok közelíthetők lánctörtekkel. Megmutatható, hogy egy irracionális szám legjobb racionális közelítése lánctörtbe fejtéssel, és annak részleges kiértékelésével kapható, és ennél pontosabbat csak a nevező növelésével lehet adni. A hiba a nevező reciprokának négyzetével arányos.

Például a fent említett

\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]

lánctört rendre a következő közelítéseket adja:

3\quad , \quad \frac{22}{7} \approx 3{,}143\quad , \quad \frac{333}{106} \approx 3{,}14151\quad , \quad \frac{355}{113} \approx 3{,}1415929\quad , \quad \frac{103993}{33102} \approx 3{,}1415926530\quad , \quad \ldots

Ezek váltakozva kisebbek és nagyobbak π pontos értékénél, és a hiba egyre kisebb.

Az an jegyek nagyságából kiolvasható, hogy milyen jól közelíthető az adott α=[a0;a1, ...] szám. Az algebrai számok nem közelíthetők tetszőleges pontossággal. Joseph Liouville ezt kihasználva adta az első példát transzcendens számra. Ha an elég gyorsan nő, akkor α egy jól approximálható Liouville-szám. Jó approximálhatóságuk miatt ezek a számok transzcendensek.

A lánctörtek gyakorlati számításokra nem alkalmasak, mert nincs olyan módszer, amivel két lánctört gyorsan összeadható, kivonható, szorozható, vagy osztható lenne, és nem létezik gyors gyökvonási eljárás sem.

Létezik egy faktorizáló algoritmus, ami a faktorizálandó szám négyzetgyökének lánctörtbe fejtésén alapul. A működés előfeltétele, hogy a faktorizálandó szám ne legyen négyzet.

1834-ban Vincent[9] publikált egy módszert, ami egy egész együtthatós négyzetmentes polinom gyökeit lánctörtek segítségével szétválasztja. Minden így kapott intervallumon a polinomnak egy gyöke van, ahova az adott intervallumon a Newton-módszer konvergál.

Történeti áttekintés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Már nagyon régóta ismeretes, hogy a számok közelíthetők lánctörtekkel. Felhasználják a naptárkészítésben, szökőévek kiszámításában, fontos konstansok közelítésére, és számok irracionális voltának bizonyítására.

Először Pietro Cataldi 1613 -ban kiadott könyvében jelentek meg lánctörtek, de szó esik róluk Daniel Schwenter könyvében, a „Deliciae Physic-Mathematicae”ban (1636) is. 1655-től John Wallis több művében is foglalkozott velük. Christiaan Huygens nagy törteket és természeti konstansokat közelített velük: így számította ki naprendszermodelljéhez a fogaskerekek áttétét.

A Szaturnuszhoz például

\frac{77\,708\,491}{2\,640\,858}= 29{,}425471\dots

kellett. Három lánctörtjeggyel a relatív hiba körülbelül 0,01%:

29 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1}}} = \frac{206}{7} = 29{,}428571\ldots

Leonhard Euler levelezésében[10] először a Riccati-differenciálegyenletekkel kapcsolatban jelentek meg a lánctörtek. Hamarosan azonban már maguk a lánctörtek kezdték érdekelni, és megalapozta a lánctörtek elméletét. Belátta, hogy a számok lánctörtbe fejthetők az euklideszi algoritmus általánosításával; hogy a racionális számok lánctörtes alakja véges; hogy a végtelen periodikus lánctörtek másodfokú racionális együtthatós egyenletek megoldásai; és hogy a lánctörtes közelítés valamilyen értelemben a legjobb. Ezek közül egyeseket már Huygens is ismert, de Euler erről nem tudott.[11]

A lánctörtbe fejtéshez Lord William Brouncker is kidolgozott egy algoritmust. Euler 1759-ben kimutatta, hogy az új algoritmus valójában megegyezik a régivel. Johann Heinrich Lambert 1766-ban lánctörtekkel bizonyította π irracionális voltát. Bolyai Farkas szintén foglalkozott a témával.[12] Mortiz Abraham Stern 1832-ben megalkotta az első összefoglalást a lánctörtekről.[13]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Sporer, első szakasz
  2. lásd Henrici, 2. kötet
  3. lásd Wüstholz, 92. oldal
  4. lásd Ebbinghaus, 121ff. oldal \pi irracionalitása és lánctörtbe fejtése
  5. Johann Heinrich Lambert: Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen. (1766), Werke I., 194-212. oldal
  6. Adrien Marie Legendre: Éléments de Géometrie. 1806
  7. lásd Ebbinghaus, 123. oldal
  8. Lásd Sporer, 8f. oldal, Näherungswerte
  9. Vincent, Mémoire sur la résolution des équations numériques. Mém. Soc. R. des Sc. de Lille (1834), pp. 1-34.
  10. Leonhard Euler és Chr. Goldbach, levélváltása
  11. André Weil: Number Theory. Birkhäuser Verlag, Boston Inc., Cambridge 1984
  12. Bolyai Farkas és a lánctörtek
  13. Mortiz Abraham Stern: Theorie der Kettenbrüche und ihre Anwendung. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1832
  • Peter Henrici: Applied and Computational Complex Analysis Volume 2. John Wiley & Sons Inc, 1991, ISBN 0-471-54289-X
  • http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig, Berlin 1913
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Teubner, 3. verb. u. erw. Aufl., Stuttgart, Band 1: Elementare Kettenbrüche (1954), Band 2: Analytisch-funktionstheoretische Kettenbrüche (1957)
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-43579-4, S. 23–24, 222–241
  • Alexander Jakowlewitsch Chintschin: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956
  • Benedikt Sporer: Niedere Analysis. 2 verb. Auflage. Göschensche Verlagshandlung, Berlin und Leipzig 1917
  • Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 1992, Kapitel Irrationalität von \pi, Kettenbruchentwicklung derselben. ISBN 3-540-55654-0

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]