Pell-egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Pell-egyenlet az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x2-dy2=1, ahol d>1 olyan egész szám, ami nem négyzetszám és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

A Pell-egyenletek megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor \sqrt{d} irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy

\left|\frac{x}{y}-\sqrt{d}\right|<\frac{1}{y^2}.

Ha K a 2\sqrt{d}+1 után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

\left|\frac{x^2-dy^2}{y^2}\right|=\left|\frac{x}{y}-\sqrt{d}\right| \left|\frac{x}{y}+\sqrt{d}\right|<\frac{K}{y^2},

azaz |x^2-dy^2| értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

x^2-dy^2=X^2-dY^2=L

másrészt xX mod L és yY mod L. Ekkor

L^2=(x^2-dy^2)(X^2-dY^2)=(xX+dyY)^2-d(yX+Yx)^2=(xX-dyY)^2-d(yX-Yx)^2

és itt az utóbbi jobboldali számok közül xX-dyY és yX-Yx oszthatók L-lel ( xX-dyY ≡ x^2-dy^2 mod L és yX-Yx ≡ xy-xy mod L ), azaz Lu és Lv alakúak. Így végigosztva L^2-tel: u^2-dv^2=1 adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0, azaz x/y=X/Y teljesülne.

Az összes megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha (x_1,y_1) az x^2-dy^2=1 egyenlet legkisebb pozitív megoldsa, akkor a többit a x_n+y_n\sqrt{d}=(x_1+y_1\sqrt{d})^n képlettel kaphatjuk meg.

A legkisebb megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számelmélet egyik fontos problémája, hogy mekkora egy Pell-egyenlet legkisebb megoldása. Hua Lo Keng az x^2-dy^2=4 egyenlet (d nem négyzetszám, d\equiv 0,1 \pmod 4) legkisebb megoldására az O(e^{\sqrt{d}\log d}) becslést adta.