Lagrange-féle középértéktétel

Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

A tétel állítása

Ha f folytonos függvény a zárt [a,b] intervallumban és differenciálható a nyílt (a,b) intervallumban, akkor van olyan a < c < b szám, amire

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

teljesül.

Bizonyítás

A tételt visszavezetjük speciális esetére, Rolle tételére. Legyen $a\leq x\leq b$-re

$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.$

A g függvény nyilván folytonos az [a,b] intervallumban és a belső pontokban

$g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Továbbá

$g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0.$

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire g'(c) = 0, azaz

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Általánosítás

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.

A tétel magasabb dimenziókban

Legyen $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ az (a,b) szakaszon differenciálható függvény ($a,b\in \mathbb{R}^n$esetén az (a,b) szakaszon az $S=\{a+t(b-a)~|~t\in (0,1)\}$ pontokat értjük). Ekkor van olyan $c\in S$, amelyre

$f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad}~f(c), b-a\rangle$

teljesül.

Bizonyítás

Legyen $g\left(t\right)=f(a+t(b-a)),$ ez $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ függvény. Mivel g differenciálható a (0,1) intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz $\exist \theta \in (0,1)$, hogy

$g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta).$

g definícióját beírva:

$g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g'(\theta)=\langle\operatorname{grad}~f(a+\theta (b-a)), b-a\rangle$

c: = a + θ(b − a) jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.