Lagrange-féle középértéktétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ábra a tételhez: a piros szelő párhuzamos a zöld érintővel

A Lagrange-féle középértéktétel a matematika, ezen belül az analízis egyik fontos tétele.

A tétel állítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha f folytonos függvény a zárt [a,b] intervallumban és differenciálható a nyílt (a,b) intervallumban, akkor van olyan a<c<b szám, amire

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

teljesül.

Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja párhuzamos ezzel a vonallal.

Egy példán keresztül egyszerűbb megérteni. Autóval utaztunk egyik városból egy másikba és az átlagsebességünk 100 km/óra volt. Ahhoz, hogy pontosan ennyi legyen az átlagsebesség, vagy konstans 100 km/órával kellett mennünk vagy pedig néha gyorsabban, néha lassabban. Ha lassabban, akkor később gyorsabban is kell mennünk, hogy az átlagsebesség valóban 100 km/óra legyen.

Ez a tétel azt mondja ki, hogy valamikor az út során kell lennie legalább egy pontnak, amikor a kocsi pontosan 100 km/órával ment - az átlagsebességével.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tételt visszavezetjük speciális esetére, a Rolle-tételre. Legyen a\leq x\leq b-re

g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.

A g függvény nyilván folytonos az [a,b] intervallumban és a belső pontokban

g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Továbbá

g(b)-g(a)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=0.

Alkalmazhatjuk tehát Rolle tételét és kapjuk, hogy van olyan c pont amire g'(c)=0, azaz

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Lagrange-féle középértéktétel általánosítása a Cauchy-féle középértéktétel.

A tétel magasabb dimenziókban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} az (a,b) szakaszon differenciálható függvény (a,b\in \mathbb{R}^nesetén az (a,b) szakaszon az S=\{a+t(b-a)~|~t\in (0,1)\} pontokat értjük). Ekkor van olyan c\in S, amelyre

f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad}~f(c), b-a\rangle

teljesül.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen g\left(t\right)=f(a+t(b-a)), ez  \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} függvény. Mivel g differenciálható a (0,1) intervallumon, ezért alkalmazhatjuk a tétel 1 dimenziós változatát, azaz \exist \theta \in (0,1), hogy

g\left(1\right)-g(0)=g'(\theta).

g definícióját beírva:

g(1)-g(0)=f(b)-f(a)=g'(\theta)=\langle\operatorname{grad}~f(a+\theta (b-a)), b-a\rangle

c:=a+\theta (b-a) jelöléssel kapjuk a bizonyítandó állítást.