Green–Tao-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Green–Tao-tétel Ben Green és Terence Tao nagy port felvert számelméleti eredménye.

A tétel szerint, ha A egy olyan prímszámokból álló halmaz, aminek relatív sűrűsége pozitív, azaz van olyan c pozitív valós szám, hogy végtelen sok x számra A x-ig legalább a prímszámok c-edrészét tartalmazza, akkor A-ban van tetszőlegesen hosszú számtani sorozat. Már az az állítás, hogy van tetszőlegesen hosszú, prímekből álló számtani sorozat, a számelmélet egy régi, nevezetes problémáját oldja meg.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számelmélet e nevezetes sejtése tulajdonképpen egyik matematikus nevéhez sem fűződik. Feltehetően már Joseph Louis Lagrange és Edward Waring felvetette 1770-ben, amikor azt vizsgálták, egy n hosszúságú, prímszámokból álló számtani sorozat differenciája mekkora lehet.

Vinogradov Goldbach-sejtéssel kapcsolatos nevezetes tételének módszerét alkalmazva igazolta Johannes van der Corput[1] és Theodor Estermann,[2] hogy végtelen sok, prímekből álló, háromtagú számtani sorozat létezik. A továbblépés már nagyon nehéz volt: csak 1981-ben igazolta[3] Roger Heath-Brown, hogy van végtelen sok négytagú számtani sorozat, amiben van három prímszám és a negyedik tagja legfeljebb két prímszám szorzata. Egy másik irányban Balog Antal 1992-ben bebizonyította[4] hogy minden k-ra van k prímszám, p_1,\dots,p_k, hogy a (p_i+p_j)/2 átlagok (1\leq i<j\leq k) különböző prímszámok. Ebből és abból, hogy minden n\geq 3, n\neq 6 értékre van két ortogonális latin négyzet, már következik, hogy minden n\geq 3-ra van csupa különböző prímből álló n\times n-es bűvös négyzet.

Green és Tao 2004-ben igazolta nevezetes tételét[5] abban a sokkal erősebb formában, hogy minden olyan prímszámokból álló A halmaz tartalmaz tetszőleges hosszúságú számtani sorozatot, aminek pozitív a relatív sűrűsége, azaz \lim\inf A(x)/\pi(x)>0 ahol A(x) az a halmaz x-nél kisebb tagjainak száma, \pi(x) pedig a prímek száma x-ig.

A tételt 2006-ban Tao és Tamar Ziegler kiterjesztette polinomérték-különbségű sorozatokra. Azt bizonyították tehát, hogy ha p_1(x),\dots,p_k(x) egész együtthatós, 0 konstans taggal rendelkező polinomok, akkor van végtelen sok olyan egész (a,b) számpár, hogy a+p_1(b),\dots,a+p_k(b) valamennyien prímek.

2007-ben Tao igazolta a Gauss-prímekre vonatkozó állítást: ha b_1,\dots,b_k Gauss-egészek, akkor van r pozitív egész szám és a Gauss-egész, hogy a+rb_1,\dots,a+rb_k valamennyien Gauss-prímek.[6]

Green-Tao-tétel a művészetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sin Oliver, Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi, 2012
Modessqe Collection

Sin Oliver 2012-es Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi című festménye a tétel egy vizuális absztrakciója.[7]

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. J. G. van der Corput: Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten. Math. Annalen, 116(1939), 1-50.
  2. T. Estermann: On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes, Proc. London Math. Soc., 44(1938), 307-314.
  3. D. R. Heath-Brown: Three primes and an almost prime in arithmetic progression, J. London Math. Soc., 23(1981) 396-414.
  4. A. Balog: Linear equations in primes, Mathematika, 39(1992), 367-378.
  5. B. Green, T. Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, [1]
  6. T. Tao: The Gaussian primes contain arbitrarily shaped constellations, J. d’Analyse Mathematique, 99(2006), 109-176.
  7. (2014. április 26.) „Oliver Sin, Interview”.