Kepler-törvények

A Kepler-törvények néven nevezzük a bolygómozgások három törvényét, melyeket Johannes Kepler német csillagász állapított meg.

Kepler törvényei és általánosításaik

I. törvény

II. törvény

Kepler törvényei

I.

A bolygók pályája ellipszis, és annak egyik gyújtópontjában van a Nap.

$r=\frac{l}{1+e\cdot\cos\varphi}$,

ahol (r,φ) a bolygók napközpontú polárkoordinátái, l a fókuszon átmenő, a nagytengelyre merőleges húr fele (semi-lactus rectum), e pedig az excentricitás.

II.

A bolygók vezérsugara (a bolygót a Nappal összekötő szakasz) azonos idő alatt azonos területet súrol.

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}r^2 \dot\varphi) = const,$ ahol $\frac{1}{2}r^2 \dot\varphi$ az adott (nagyon kicsi) szögelfordulás alatt súrolt terület, ennek az idő szerinti első differenciálhányadosa a területi sebesség, ami konstans.

III.

A bolygók Naptól való átlagos távolságainak (a, a pálya fél nagytengelyeinek) köbei úgy aránylanak egymáshoz, mint a keringési idejük (T) négyzetei, azaz a

$\frac{a^3}{T^2}$ hányados minden naprendszerbeli bolygó esetén ugyanakkora.

Például a Jupiter keringési idejének (11,8 földi év) négyzete majdnem 140. A Jupiter majdnem 5,2-szer van távolabb a Naptól, mint a Föld; ennek köbe (5,2-ször 5,2-ször 5,2) szintén majdnem 140.

Kepler III. törvényének pontos alakja:

$\frac{a^3}{T^2} = \frac{\mu}{4\pi^2},$

$\mathbf\mu = k^2(m_1+m_2)$, ahol k a Gauss-féle gravitációs állandó, m₁ és m₂ pedig a testek tömege.

Mivel $\mu$ értéke k-nak, a Gauss-féle gravitációs állandónak a négyzete miatt nagyon kicsi, ezért az egyenlet jobb oldala minden bolygóra nézve jó közelítéssel állandó.

A Gauss-féle gravitációs állandó:

$k = \frac{2\pi}{T\sqrt{1+m}},$

ahol m a Föld - Hold rendszer össztömege, T pedig a Föld - Hold rendszer tömegközéppontjának a Nap körüli keringési ideje.

A Kepler-törvények általánosítása

A fenti törvények általánosíthatóak: igazak egy csillag körül keringő bolygóra, egy bolygó körül keringő holdakra és műholdakra, bármely nagy tömegű égitest körül keringő más égitestekre, csupán az $a^3 / T^2$ értéke más, a központi égitest tömegétől függ. Egy másik általánosítás a tetszőleges kúpszelet alakú pályákhoz vezet; például egyes üstökösök pályája parabola alakú. A Kepler-törvények közel egyforma tömegű testekre is általánosíthatóak, de ekkor a III. törvény közelítő jelleget ölt. Kepler törvényeinek fizikai magyarázatát a kéttestprobléma szolgáltatja.

A Kepler-törvények története

Az első két törvényt Kepler az 1609-ben megjelenő Astronomia Nova (Új csillagászat) című művében közölte. A harmadik törvényt a Mars adatainak kitartó tanulmányozásával 1618. május 15-én találta meg, ezt a törvényt az 1619-ben írt Harmonices Mundi ("A világ harmóniája") című művében közölte.

Kepler ezeket a törvényeket nem egy elméletből vezette le, hanem Tycho Brahe pontos megfigyeléseiből kiindulva találta meg. Isaac Newtonnak sikerült ezeket egy általánosabb elméletbe beleágyaznia, de meg kell jegyeznünk, hogy a híres 1/ ${r^2}$ -es gravitációs erőtörvényt ő a Kepler-törvények alapján vezette le.

Kepler II. törvényének igazolása

Kepler II. törvénye könnyen igazolható, ha bizonyítást nyer, hogy centrális erőtérben végzett mozgás esetén (tehát ha az erő egy rögzített pont felé irányul a mozgás során) az

$s = \frac{1}{2}(\mathbf{r}\times\mathbf\dot{r})$ összefüggésben a területi sebességvektor állandó.

A koordináta-rendszer kezdőpontja az erőcentrumban van.

Newton II. törvénye szerint az erő: $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$,

amely felírható

$\mathbf{F} = m\mathbf \ddot{r}$ alakban is, mert $\mathbf{a} = \mathbf \dot{v} = \mathbf\ddot{r}$.

A két alakból látható, hogy $\mathbf{r}$ és $\mathbf \ddot{r}$ vektorok párhuzamosak, ezért a vektoriális szorzatuk zérus:

$\mathbf{r}\times\mathbf\ddot{r} = \mathbf{0}.$

S deriváltja:

$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}(\mathbf\dot{r}\times\mathbf\dot{r}) + \frac{1}{2}(\mathbf{r}\times\mathbf\ddot{r}) = 0,$

mert az első tag két vektora azonos, a vektoriális szorzat meghatározása miatt zérus, a második tagról pedig fentebb nyert bizonyítást, hogy szintén zérus. Mivel s deriváltja zérus, ezért s állandó, következésképpen a területi sebességvektor is állandó, a mozgás pedig síkmozgás.

Lásd még

• Kepler-probléma
• Kepler törvényei a bolygók mozgásáról (angolul)

Irodalom

• Timothy Ferris. A világmindenség. Mai kozmológiai elméletek (26. oldal). Typotex Kiadó. ISBN 963-9548-33-2 (2006) 
• Fekete Zoltán-Zalay Miklós. Többváltozós függvények analízise. Budapest: Műszaki Könyvkiadó (1985) 
• Csillagászat. Szerkesztette Marik Miklós (Akadémiai Kiadó, Budapest, 1989) ISBN 963 05 4657 4