„Prímtényező” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Syp (vitalap | szerkesztései) |
Syp (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
:<math> 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5,</math> |
:<math> 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5,</math> |
||
melyben a 2, 3 és 5 prímtényezők [[multiplicitás]]a 3, 2 illetve 1. |
melyben a 2, 3 és 5 prímtényezők [[multiplicitás]]a 3, 2 illetve 1. |
||
A <math>n=\prod p_i^{\alpha_i}</math> felbontást a szám '''kanonikus alak'''jának is nevezik (pl. <math>-12=(-2)\cdot 2\cdot 3=2\cdot 2 \cdot (-3)</math>). |
|||
Egy ''n'' szám ''p'' prímtényezőjét tekintve ''p'' multiplicitása az a legnagyobb ''a'' [[kitevő]], amire ''p<sup>a</sup>'' osztója ''n''-nek. |
Egy ''n'' szám ''p'' prímtényezőjét tekintve ''p'' multiplicitása az a legnagyobb ''a'' [[kitevő]], amire ''p<sup>a</sup>'' osztója ''n''-nek. |
A lap 2016. március 27., 18:40-kori változata
A számelméletben egy pozitív egész szám prímtényezőin vagy törzstényezőin a szám prímszám osztóinak összességét értjük.[1] Egy pozitív egész szám prímfelbontása: a szám prímtényezőinak listázása, annak figyelembe vételével, hogy hányszor szerepelnek a szám osztói között. A számelmélet alaptétele kimondja, hogy minden pozitív egész szám egyféleképpen bontható fel prímtényezők szorzatára.[2]
A prímtényezős felbontást a rövidség érdekében hatványformában szokás felírni. Például
melyben a 2, 3 és 5 prímtényezők multiplicitása 3, 2 illetve 1.
A felbontást a szám kanonikus alakjának is nevezik (pl. ).
Egy n szám p prímtényezőjét tekintve p multiplicitása az a legnagyobb a kitevő, amire pa osztója n-nek.
Egy n pozitív egész számra a prímtényezők száma és a prímtényezők összege (a multiplicitást nem tekintve) olyan számelméleti függvények, melyek additívak, de nem totálisan additívak.[3]
Négyzetszámok
A négyzetszámok arról ismerszenek meg, hogy minden prímtényezőjük páros multiplicitással rendelkezik. Például a 144 (a 12 négyzete) prímtényezői:
Ezeket átrendezve:
Mivel minden prímtényező páros számúszor jelenik meg, az eredeti szám kifejezhető valamely kisebb szám négyzeteként. Hasonlóan, a köbszámok prímtényezőinek multiplicitása a 3 többszöröse, s.í.t.
Relatív prímek
A közös prímtényezővel nem rendelkező pozitív egész számokat relatív prímeknek (angolul: coprime) nevezik. Ha a és b pozitív egész számok relatív prímek, ha legnagyobb közös osztójuk lnko(a, b) = 1. Az euklideszi algoritmussal meghatározható, hogy két szám relatív prím-e prímtényezőik ismerete nélkül is; az algoritmus a számjegyek száma szerint polinomiális időben fut le.
Az 1 szám minden pozitív egésszel és önmagával is relatív prím. Ennak oka, hogy nincsenek prímtényezői, ő az üres szorzat. Tehát lnko(1, b) = 1 bármely b ≥ 1.
Kriptográfiai alkalmazásai
A számok prímfelbontása titkosítási rendszerek kriptográfiai biztonságának fontos részét képezi;[4] a probléma ismereteink szerint a polinomiálisnál hosszabb időt vesz igénybe; viszonylag könnyű olyan problémát megalkotni, aminek megoldása az univerzum életkoránál hosszabb időt venne igénybe jelenlegi algoritmusainkkal.
Omega-függvények
Az ω(n) (omega) megmutatja az n szám különböző prímtényezőinek számát, míg a Ω(n) (nagy omega) függvény, az n szám összes prímtényezőjének a számát [2] Ha
- ,
akkor
- .
Például 24 = 23 × 31, így ω(24) = 2 és Ω(24) = 3 + 1 = 4.
- ω(n) értéke n = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, … (A001221 sorozat az OEIS-ben).
- Ω(n) értéke n = 1, 2, 3…-ra 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, … (A001222 sorozat az OEIS-ben).
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime factor című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Kapcsolódó szócikkek
Jegyzetek
- ↑ Jensen, Gary R.. Arithmetic for Teachers: With Applications and Topics from Geometry. American Mathematical Society (2004)
- ↑ a b Riesel, Hans (1994), Prime numbers and computer methods for factorization, Basel, Switzerland: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
- ↑ Melvyn B. Nathanson. Additive Number Theory: the Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (1996). ISBN 0-387-94656-X
- ↑ Menezes, Alfred, van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A.. Handbook of Applied Cryptography. CRC Press (1996. október 1.). ISBN 0-8493-8523-7