Tökéletes számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben tökéletes számnak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek megegyeznek az önmaguknál kisebb osztóik összegével. Más megfogalmazás szerint tökéletes szám minden olyan n egész, amelyre az osztóösszeg-függvény σ(n)=2n , vagy a valódi osztók összege s(n)=n. A társas számok speciális esetei.

A definíció az ókorból származik, már Eukleidész: Elemek c. művében is megjelenik (VII.22), τέλειος ἀριθμός (tökéletes, ideális vagy teljes szám) néven. Eukleidész meghatározott egy képzési szabályt is (IX.36), miszerint páros tökéletes szám, amennyiben alakú, és pedig prímek – az ilyen alakú számokat jelenleg Mersenne-prímeknek nevezzük. Jóval később Euler igazolta, hogy az összes páros tökéletes szám ebben az alakban írható fel.[1] Ez az Eukleidész–Euler-tétel.

Nem ismeretes, hogy létezik-e páratlan tökéletes szám, ahogy az sem, hogy létezik-e végtelen sok tökéletes szám.

Példák[szerkesztés]

A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második legkisebb tökéletes szám a 28, melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a 496 és a 8128. (A000396 sorozat az OEIS-ben).

Páros tökéletes számok[szerkesztés]

Az ókori görögök csak a négy legkisebb tökéletes számot (6, 28, 496, 8128) ismerték.

Az ókori görög matematikus, Eukleidész felfedezte, hogy az első négy tökéletes szám felírható 2n−1(2n − 1) alakban:

n = 2-re:   21(22 − 1) = 6
n = 3-ra:   22(23 − 1) = 28
n = 5-re:   24(25 − 1) = 496
n = 7-re:   26(27 − 1) = 8128

Észrevéve, hogy a fent említett n-ekre 2n − 1 minden esetben prímszám, Eukleidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2n − 1 prím, 2n−1(2n − 1) tökéletes szám.

Az ókori matematikusok az első négy szám megfigyelése alapján további feltételezésekkel éltek, ám ezek zöme hamisnak bizonyult. Az egyik ilyen feltételezés szerint az ötödik tökéletes szám az n = 11 értékre adódik, mivel az első négy esetben n az első négy prímszám (2, 3, 5, 7) értékét veszi fel, „logikusnak” tűnt tehát, hogy az ötödik prímszám az ötödik tökéletes számot adja. Ez azonban nem igaz. Hasonló módon hamisnak bizonyultak a következő feltételezések:

  • Az ötödik tökéletes számnak öt számjegye van, mert az első négy is rendre egy, kettő, három ill. négy jegyből áll.
  • A tökéletes számok sorba rendezve felváltva 6-ra és 8-ra végződnek.

Az ötödik tökéletes szám (33 550 336) nyolc számjegyből áll, megdöntve a második feltételezést, viszont valóban 6-ra végződik. Azonban a következő, hatodik tökéletes szám (8 589 869 056) is 6-ra végződik, tehát a harmadik feltételezés is hamis. (Az, hogy minden páros tökéletes szám 6-ra vagy 8-ra végződik, könnyen megmutatható.)

Az is megmutatható, hogy ha 2n − 1 prím, akkor n is az, de fordítva nem feltétlenül igaz. Azokat a prímeket, amelyek felírhatók 2n − 1 alakban, Mersenne-prímeknek nevezzük a 17. században élt francia szerzetes, Marin Mersenne után.

Nikomakhosz Geraszénosz (Kr. u. I. szd. vége) Arithmétikhé eiszagogé (Bevezetés az aritmetikába) c. művében megfogalmazta a sejtést, hogy Eukleidész képlete, 2n−1(2n − 1) az összes páros tökéletes számot kiadja. Ezt több mint másfél ezer évvel utána Leonhard Euler bizonyította be. Ennek egyenes következménye, hogy az összes Mersenne-prímhez találunk tökéletes számot, sőt, a két számcsoport között egy-az-egyhez megfeleltetés létezik.

Jelenleg véges sok Mersenne-prímet ismerünk, és azt sem tudjuk, hogy vajon végtelen sok ilyen prím van-e. Ennek megfelelően az sem ismert, hogy a tökéletes számok végtelen sokan vannak-e. De nem lehetnek túl sokan: nulla sűrűségű sorozatot alkotnak (H.-J. Kanold, 1954).

A GIMPS elosztott számítási projekt megmutatta, hogy az első 44 tökéletes szám a 2p−1(2p − 1) a következő p értékekre

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, and 32582657 (A000043 sorozat az OEIS-ben).[2]

Öt ennél nagyobb tökéletes számot is sikerült találni, ezeknél p = 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, illetve 74207281, de lehetnek még más p értékek ezek közelében.

A tökéletes számok osztóinak (az 1-et és saját magukat is beleszámítva) reciprok értékeit összeadva mindig 2 lesz az eredmény. Pl. 28 esetében:

Az ismert többjegyű tökéletes számok számjegyeit egymással összeadva, majd az eredmény számjegyeit újra összeadva, mindaddig amíg egy számjegyet kapunk, mindig 1 lesz a végeredmény. Vagyis a 6-ot leszámítva mindegyik kilences maradéka 1. Pl. a 496 esetében: 4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

A tökéletes számok (a 6-ot kivéve) a hatos számrendszerben két 4-esre végződnek.

A 2p−1(2p − 1) alak mellett minden tökéletes szám egyben a (2p − 1)-edik háromszögszám (és így megegyezik az egész számok összegével 1-től 2p − 1-ig) és a 2p−1-edik hatszögszám. Továbbá, minden páros tökéletes szám a hat kivételével a ((2p + 1)/3)-adik középpontos kilencszögszám és megegyezik az első 2(p−1)/2 páratlan köbszám összegével:

A 2p−1(2p − 1) alakból következően minden páros tökéletes szám bináris alakban úgy néz ki, hogy p 1-est  p − 1  nulla követ:

610 = 1102
2810 = 111002
49610 = 1111100002
812810 = 11111110000002
3355033610 = 11111111111110000000000002.

Ezért minden tökéletes szám Hamming-távolsága prímszám (wd).

Minden tökéletes szám egyben praktikus szám. Valamennyi tökéletes szám osztóharmonikus szám, tehát olyan pozitív egész szám, melynek osztóiból harmonikus közepet képezve egész számot kapunk.

Páratlan tökéletes számok[szerkesztés]

Nyitott kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok. Számos eredmény született ebben a témában, de egyik sem mutatott rá egy páratlan tökéletes számra vagy cáfolta ezek létezését. Többen vélik úgy heurisztikus érvek alapján, hogy páratlan tökéletes számok nem léteznek.[3][4] Minden tökéletes szám Ore-szám (osztóharmonikus) is, és egy sejtés szerint páratlan Ore-számok szintén nem léteznek.

Bármely páratlan N tökéletes számnak a következő feltételeknek kell eleget tennie:

  • N > 101500.[5]
  • N nem osztható 105-tel.[6]
  • N ≡ 1 (mod 12) vagy N ≡ 117 (mod 468) vagy N ≡ 81 (mod 324).[7]
  • N felírható a következő alakban:
ahol:
  • qp1, ..., pk különböző prímszámok (Euler).
  • q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Euler).
  • N legkisebb prímtényezője kisebb mint (2k + 8) / 3.[8]
  • Vagy qα > 1062, vagy p j2ej  > 1062 néhány j-re.[5]
  • N < 24k+1.[9]
  • N legnagyobb prímtényezője nagyobb mint 108.[10]
  • A második legnagyobb prímtényező nagyobb mint 104, a harmadik legnagyobb pedig nagyobb mint 100.[11][12]
  • N-nek legalább 101 prímtényezője van, ezek közül legalább 10 különböző.[5][13] Ha a 3 nincs N prímtényezői között, akkor N-nek legalább 12 különböző prímtényezője kell legyen.[14]


Más számcsoportok[szerkesztés]

Az osztók összege alapján más számcsoportokat is megkülönböztetünk. Azokat a számokat, ahol az osztók összege kisebb a számnál, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak. Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Caldwell, Chris, "A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime".
  2. GIMPS Milestones Report. Retrieved 2014-02-24
  3. Dickson, L. E.. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington, 6. o (1919) 
  4. Oddperfect.org.
  5. ^ a b c (2012.) „Odd perfect numbers are greater than 101500”. Mathematics of Computation 81 (279), 1869–1877. o. DOI:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718.  
  6. Kühnel, U (1949.). „Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen”. Mathematische Zeitschrift 52, 201–211. o. DOI:10.1515/crll.1941.183.98. (Hozzáférés ideje: 2011. március 30.)  
  7. Roberts, T (2008.). „On the Form of an Odd Perfect Number”. Australian Mathematical Gazette 35 (4), 244. o.  
  8. Grün, O (1952.). „Über ungerade vollkommene Zahlen”. Mathematische Zeitschrift 55 (3), 353–354. o. DOI:10.1007/BF01181133. (Hozzáférés ideje: 2011. március 30.)  
  9. Nielsen, PP (2003.). „An upper bound for odd perfect numbers”. Integers 3, A14–A22. o. (Hozzáférés ideje: 2011. március 30.)  
  10. Goto, T (2008.). „Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108”. Mathematics of Computation 77 (263), 1859–1868. o. DOI:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. (Hozzáférés ideje: 2011. március 30.)  
  11. Iannucci, DE (1999.). „The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand”. Mathematics of Computation 68 (228), 1749–1760. o. DOI:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. (Hozzáférés ideje: 2011. március 30.)  
  12. Iannucci, DE (2000.). „The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred”. Mathematics of Computation 69 (230), 867–879. o. DOI:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. (Hozzáférés ideje: 2011. március 30.)  
  13. Nielsen, PP (2015.). „Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds”. Mathematics of Computation 84 (0), 2549–2567. o. DOI:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. (Hozzáférés ideje: 2015. augusztus 13.)  
  14. Nielsen, PP (2007.). „Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors”. Mathematics of Computation 76 (260), 2109–2126. o. DOI:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. (Hozzáférés ideje: 2011. március 30.)  

További információk[szerkesztés]