Pillai-prímek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A számelmélet területén a Pillai-prímek közé olyan p prímszámok tartoznak, melyekhez létezik olyan n pozitív egész szám, hogy n faktoriálisa eggyel kisebb, mint a prímszám valamely többszöröse, de a prímszám maga nem eggyel több n valamely többszörösénél. Formálisan: , de .

Az első néhány Pillai-prím:

23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, ... (A063980 sorozat az OEIS-ben)

A Pillai-prímeket Subbayya Sivasankaranarayana Pillai indiai matematikus tanulmányozta. Bizonyított, hogy végtelen sok Pillai-prímszám létezik. Ismert (valószínűleg jelentősen megjavítható) felső korlát[1] a Pillai-prímek a(n) sorozata egy tagjának nagyságára:

, ahol a kitevő az alap előtt a tetráció, utána meg a hatványozás műveletét jelenti, O az O jelölésre utal. [ a(n) < e^e^...^e^{O(n \ln n)} ]

A sorozat néhány tagja, a hozzájuk tartozó legkisebb és legnagyobb n pozitív egész számokkal:

ai pi
(A063980)
nmin
(A063828)
nmax
(A211411)
1 23 14 18
2 29 18 18
3 59 15 43
4 61 8 18
5 67 18 33
6 71 9 63
7 79 23 55
8 83 13 69
9 109 86 86
10 137 16 101
11 139 16 16
12 149 50 50
13 193 102 102
14 227 61 165
15 233 64 64
16 239 210 210
17 251 97 153
18 257 31 225
19 269 9 259
20 271 93 177

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Hardy, G. E. & Subbarao, M. V. (2002), "A modified problem of Pillai and some related questions", American Mathematical Monthly 109 (6): 554–559, DOI 10.2307/2695445