Oszthatóság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az oszthatóság egy matematikai reláció, melynek tulajdonságait a számelmélet vizsgálja.

  1. Hagyományos értelemben akkor mondjuk, hogy az a és b természetes számok között (ebben a sorrendben) fennáll az oszthatósági reláció; röviden a b szám osztója az a számnak, vagy az a szám osztható a b-vel, ha van olyan egész szám, melyet b-vel szorozva a-t kapunk, vagyis, más szóval, ha az a szám többszöröse a b-nek. A b osztó valódi osztó, ha nem azonos a-val vagy 1-gyel.
  2. Egész számok helyett gyűrűk elemei között értelmezett oszthatóságról is beszélhetünk. A definíció hasonló: az a gyűrűelem osztható a b gyűrűelemmel (az a többszöröse b-nek, vagy a b osztója a-nak), ha van olyan c gyűrűelem, amellyel b-t szorozva a-t kapunk.

Oszthatóság[szerkesztés]

Oszthatósági hálódiagram a 400-nál nem nagyobb reguláris számokra

Egy a egész szám osztója egy b egész számnak, ha van olyan n egész szám, melyre a·n=b. Jele: a|b (a osztója b-nek).

Az oszthatóság tulajdonságai (bármely a,b,c egész szám esetén):

a|a (ez a reflexív tulajdonság)
1|a
a|0
a|ba|b·c
a|b és b|ca|c (ez a tranzitív tulajdonság)
a|b és a|ca|b+c
a|b és a|ca|b-c

Az oszthatósági reláció reflexív és tranzitív, a pozitív egész számok körében antiszimmetrikus.

Oszthatósági tesztek a tízes számrendszerben felírt természetes számok körében[szerkesztés]

  • 2-vel osztható az a szám, melynek utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8, tehát páros.
  • 3-mal osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 3-mal osztható. (Úgy is meg lehet fogalmazni, hogy 3-mal osztható az a szám, amelynek a 3-mal nem osztható számjegyeinek (vagyis a 0, 3, 6, 9 számjegyeket nem számolva) összege osztható hárommal (például a 3694692306 szám osztható 3-mal, mert hárommal nem osztható számjegyeinek összege 4+2=6 osztható 3-mal).)
  • 4-gyel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. (Azaz ez a szám 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92 vagy 96.)
  • 5-tel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 0 vagy 5.
  • 6-tal osztható az a szám, mely 2-vel és 3-mal osztható. Azaz 3-mal osztható páros szám.
  • 7-tel osztható az a szám, melynek számjegyeit hátulról hármasával csoportosítva és váltakozó előjellel összeadva a kapott szám osztható 7-tel. A 7-tel való oszthatóság ellenőrzéséhez az egyesek, tízesek stb. helyén álló számjegyeket sorra 3-mal, 2-vel, (-1)-gyel, (-3)-mal, (-2)-vel és 1-gyel (majd ugyanilyen sorrendben folytatva tovább ismét 3-mal, 2-vel stb.) kell szorozni, s a kapott számokat összeadni: az eredeti szám osztható 7-tel, ha az ekként kapott súlyozott összeg is osztható héttel.
  • 8-cal osztható az a szám, melynek utolsó három jegyéből alkotott szám osztható nyolccal.
  • 9-cel osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 9-cel osztható.
  • 10-zel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 0.
  • 11-gyel osztható az a szám, melynek páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik a páratlan helyiértéken álló számjegyek összegével, vagy a kettő különbsége 11-nek a többszöröse.
  • 12-vel osztható az a szám, amely osztható 3-mal is és 4-gyel is.
  • 25-tel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 25-tel, vagyis ha a szám 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződik.
  • 50-nel osztható az a szám, melynek az utolsó két jegyéből alkotott szám osztható 50-nel. (00 vagy 50)
  • 100-zal osztható az a szám, melynek az utolsó két számjegye 00.
  • 125-tel azok a számok oszthatók, melyek utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 125-tel. (000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 vagy 875.)
  • A 0-val való osztást ugyan nem értelmezzük, azonban a 0 minden számmal osztható, a definíció szerint még önmagával is. Más szám nem lehet nullával osztható, hiszen a 0 minden többszöröse 0.

Oszthatósági szabályok más számrendszerekben[szerkesztés]

Nem kell egy a alapú számrendszerben felírt egész számot csak azért átváltani, hogy megállapíthassunk bizonyos oszthatóságokat.

  • Az a-val és hatványaival való oszthatóság: n osztható ah-nal, ha utolsó h jegye 0.
  • Osztható ah egy osztójával, ha az utolsó h jegyből álló szám osztható az adott osztóval.
  • Osztható (a-1)-gyel vagy annak egy osztójával, ha számjegyeinek összege osztható (a-1)-gyel vagy az adott osztóval.
  • Osztható (a+1)-gyel vagy annak egy osztójával, ha a páros helyiértékű jegyeit és a páratlan helyiértékű jegyeit külön-külön összeadva olyan számokat kapunk, amik különbsége osztható (a+1)-gyel vagy az adott osztóval.

Oszthatóság az egész számok körében[szerkesztés]

Ha az egész számok halmazát a szokásos összeadás és szorzás művelettel integritástartománynak tekintjük, és a fenti módon értelmezzük rajta az oszthatóság fogalmát, akkor például a 6-nak nem csak az 1, 2, 3 és a 6 lesz osztója, hanem a -1, -2, -3 és a -6 is, mert ezekhez is lehet olyan alkalmas egész számot találni, amivel megszorozva őket mind 6-ot adnak.

Oszthatóság gyűrűkben és integritástartományokban[szerkesztés]

Definíció:

Tetszőleges integritástartomány (kommutatív, zérusosztómentes és egységelemes, általában legalább két elemet tartalmazó gyűrű) esetén elemeire akkor mondjuk, hogy osztója -nek, ha van olyan elem, melyre .

Jelölés:

Ahogyan a gyűrű tekinthető az egész számok halmazán értelmezett négy alapművelet által meghatározott struktúra általánosításának, úgy az itt bevezetett oszthatósági fogalom is tekinthető az egész számokon értelmezett oszthatóság általánosításának.

Valóban, tetszőleges integritástartomány tetszőleges elemeire teljesülnek a következő tulajdonságok, (melyek az egész számok esetén is teljesülnek az oszthatóságra):

  • (reflexivitás)
  • és esetén (tranzitivitás)
  • és esetén és
  • és esetén
  • és a bármely elemére
  • és -tól különböző esetén
  • Tetszőleges integritástartományokban is érvényes (a nullosztómentesség miatt), hogy (0-val jelölve a gyűrű nullelemét) akkor és csak akkor teljesül, ha .

Ahogyan az egész számok példája is mutatja, egy integritástartományon az osztást műveletként bevezetni nem feltétlenül egyszerű (a struktúra bővítése nélkül), mert előfordulhat, hogy az -nek nincs is megoldása, vagy több megoldása is van -re (rögzített és mellett), így az esetleges jel nem jelölné az integritástartomány egy egyértelmű elemét.