Egész számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Az egész számok szimbóluma

Egész számoknak nevezzük a 0,1,2, … és −1,−2, … számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza a természetes számok halmaza.

Az egész számok halmazát Z-vel (általában tipográfiailag kiemelve, mint Z vagy ) jelöljük. Az utóbbi Unicode-ja U+2124. A jelölés a német Zahlen (számok) szó rövidítése.[1] Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát (és minden természetes szám ellentettjét) tartalmazza. Sokkal meglepőbb, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy matematikai értelemben ugyanannyi elemük van, holott az egyik halmaz tartalmazza a másikat.

Az egész számok természetes rendezése növekvő sorrendben: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … A számelmélet az egész számokat vizsgálja.

Számítógépben az egész számokat rendszerint az int, integer, long, long long, BigInteger és más, hasonló nevű számtípusok ábrázolják.

Matematikai definíció[szerkesztés]

Az egész számokat reprezentáló ekvivalenciaosztályok –5-től 5-ig
A piros pontok a természetes számok rendezett párjait mutatják. Az összekötött piros pontok a vonal végén kékkel írt egész számot reprezentáló ekvivalenciaosztályok.

Az egész számokat az általános iskolában intuitívan vezetik be a kivonás segítségével; illetve úgy, hogy a természetes számokhoz hozzáveszik azok ellentettjeit. Azonban ez a definíció megnehezíti a különböző műveletek működésének ellenőrzését (jóldefiniáltság, megkívánt tulajdonságok), mivel esetszétválasztást igényel.[2] Ezért a halmazelmélet absztraktabb konstrukciót használ.[3]

A természetes számok halmazát ismertnek feltételezve a következőképpen definiálhatjuk az egész számokat: Tekintsük a Descartes-szorzatot, amely természetes számok rendezett párjaiból áll. Értelmezzük ezeken a párokon a (m,n)~(m',n'), ha m+n'=m'+n relációt, az (m,n)+(m',n')=(m+m',n+n') összeadást, és az szorzást, valamint az (m,n)≤(m'n')-t, ha m+n'≤m'+n relációt. A ~ reláció ekvivalenciareláció. Az ekvivalenciaosztályok halmazát jelöljük -vel. Az így nyert halmazt nevezzük az egész számok halmazának.[4]

Mindegyik ekvivalenciaosztály reprezentálható az (n,0) vagy (0,n) (vagy akár egyszerre mindkettő) alakú elemével. Az n természetes számot az [(n,0)] osztály azonosítja (más szóval a természetes számok beágyazhatók -be), illetve a [(0,n)] osztályt –n-nel jelöljük (így megkaptuk az összes ekvivalenciaosztályt, a [(0,0)] osztályt kétszer, hiszen –0=0).

Így az [(a,b)]-t

módon jelölhetjük.

Ez a jelölés az egész számok megszokott reprezentációját adja: {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Például:

elemei a szokásos műveletekkel gyűrűt alkotnak. Az (a,b) pár additív inverze a (b,a) pár.

A konstrukció hasonlóan működik, ha a természetes számok halmazába nem veszik bele a nullát. Ekkor választhatók a következő reprezentáns elemek: az természetes szám reprezentánsa , az negatív egészé , és a nulláé .

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az egész számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra, a kivonásra és a szorzásra. Az összeadás neutrális eleme a 0. Az additív inverz az ellentett, egy egész szám ellentettje . A szorzás egységeleme az 1.

Az egész számok halmaza (a szokásos rendezéssel) lineárisan rendezett. A rendezés segítségével definiálhatók a következő függvények:

a szignumfüggvény:

és az abszolútértékfüggvény:

A kettő közötti összefüggés:

Az egész számok halmaza az összeadással Abel-csoportot (kommutatív csoportot), a szorzással kommutatív félcsoportot képez. A disztributivitás miatt az egész számok halmaza a fent definiált összeadással és szorzással gyűrűt alkot.

Az egész számok euklideszi gyűrűt alkotnak a szokásos maradékos osztással és az abszolútértékkel, mint normával. Emiatt két egész szám legnagyobb közös osztója euklideszi algoritmussal számítható. Az euklideszi gyűrű tulajdonságból következik az egyértelmű törzstényezős felbontás is.

Számossága[szerkesztés]

Az egész számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen (szokásos jelöléssel ), ami megegyezik a természetes számok számosságával. Két halmaz számossága ugyanis akkor egyezik meg, ha létezik egy, a két halmaz között értelmezett bijekció. Ebben az esetben is létezik ilyen függvény, mégpedig pl:

Vagyis minden nemnegatív egész számhoz hozzárendeljük a páros természetes számokat, minden negatív számhoz pedig a páratlanokat. Az egész számok minden elemét képezzük valahova, és az összes természetes számba képezünk, ezért ez bijekció, azaz a két halmaz számossága megegyezik.

Hasonló konstrukciók[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Ganze Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Number Theory, 2010-08-29. [2010. január 31-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2019. május 27.)
  2. Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 86, ISBN 978-0-486-45792-5, <https://books.google.com/books?id=3domViIV7HMC&pg=PA86>.
  3. Ivorra Castillo: Álgebra
  4. Campbell, Howard E.. The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts, 83. o. (1970). ISBN 978-0-390-16895-5 

További információk[szerkesztés]

Források[szerkesztés]