Egész számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az egész számok szimbóluma

Egész számoknak nevezzük a 0,1,2, … és −1,−2, … számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza a természetes számok halmaza.

Az egész számok halmazát Z-vel (általában tipográfiailag kiemelve, mint Z vagy \mathbb{Z}) jelöljük. Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát tartalmazza. Sokkal meglepőbb, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy matematikai értelemben ugyanannyi elemük van, holott az egyik halmaz tartalmazza a másikat.

Matematikai definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egész számokat reprezentáló ekvivalenciaosztályok –5-től 5-ig
A piros pontok a természetes számok rendezett párjait mutatják. Az összekötött piros pontok a vonal végén kékkel írt egész számot reprezentáló ekvivalenciaosztályok.

A természetes számok \mathbb{N} halmazát ismertnek feltételezve a következőképpen definiálhatjuk az egész számokat: Tekintsük a \mathbb{N} \times \mathbb{N} Descartes-szorzatot, amely természetes számok rendezett párjaiból áll. Értelmezzük ezeken a párokon a (m,n)~(m',n'), ha m+n'=m'+n relációt, az (m,n)+(m',n')=(m+m',n+n') összeadást, és az (m,n)\cdot(m'n')=(m \cdot m'+n \cdot n',m \cdot n'+m' \cdot n) szorzást, valamint az (m,n)≤(m'n')-t, ha m+n'≤m'+n relációt. A ~ reláció ekvivalenciareláció. Az ekvivalenciaosztályok halmazát jelöljük \mathbb{Z}-vel. Az így nyert \mathbb{Z} halmazt nevezzük az egész számok halmazának.

Mindegyik ekvivalenciaosztály reprezentálható az (n,0) vagy (0,n) (vagy akár egyszerre mindkettő) alakú elemével. Az n természetes számot az [(n,0)] osztály azonosítja (más szóval a természetes számok beágyazhatók \mathbb{Z}-be), illetve a [(0,n)] osztályt –n-nel jelöljük (így megkaptuk az összes ekvivalenciaosztályt, a [(0,0)] osztályt kétszer, hiszen –0=0).

Így az [(a,b)]-t

\begin{cases} a - b, & \mbox{ha }  a \ge b  \\ -(b-a),  & \mbox{ha } a < b \end{cases}

módon jelölhetjük.

Ez a jelölés az egész számok megszokott reprezentációját adja: {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Például:

\begin{align}
 0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\
-1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\
 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\
-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)].
\end{align}

\mathbb{Z} elemei a szokásos műveletekkel gyűrűt alkotnak. Az (a,b) pár additív inverze a (b,a) pár.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egész számok halmaza az összeadással Abel-csoportot (kommutatív csoportot), a szorzással kommutatív félcsoportot képez. A disztributivitás miatt az egész számok halmaza a fent definiált összeadással és szorzással gyűrűt (speciálisan euklideszi gyűrűt) alkot.

Az egész számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra, a kivonásra és a szorzásra.

Az egész számok halmaza (a szokásos rendezéssel) lineárisan rendezett.

Számossága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egész számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen (szokásos jelöléssel \aleph_0), ami megegyezik a természetes számok számosságával. Két halmaz számossága ugyanis akkor egyezik meg, ha létezik egy, a két halmaz között értelmezett bijekció. Ebben az esetben is létezik ilyen függvény, mégpedig pl:

f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}

f(x) := \begin{cases} 2x & \mbox{ha }x \ge 0 \\ -2x-1 & \mbox{ha }x < 0 \end{cases}

Vagyis minden nemnegatív egész számhoz hozzárendeljük a páros természetes számokat, minden negatív számhoz pedig a páratlanokat. Az egész számok minden elemét képezzük valahova, és az összes természetes számba képezünk, ezért ez bijekció, azaz a két halmaz számossága megegyezik.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]