Kvaterniók

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hamilton

A matematikában a kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először Sir William Rowan Hamilton ír matematikus, fizikus és csillagász vezette be 1843-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik).

Definíció[szerkesztés]

Csoportelméleti definíció[szerkesztés]

Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i2 = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemeknek a valós számkörhöz való hozzávételével nyerjük, ahol i, j és k teljesíti a következőket:

Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:

Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.

Halmazelméleti definíció[szerkesztés]

=(a, b, c, d) 4

Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal:

  • (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D)
  • Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy háromdimenziós vektor, valamint v*V a skaláris szorzatukat, v x V pedig a vektoriális szorzatukat jelöli. Ekkor (a, v) * (A, V) = (a*A-v*V, a*V + A*v + v x V)

A kvaterniók ferdetestet alkotnak.

Komplex mátrixok[szerkesztés]

Ez a konstrukció a kvaterniókat részgyűrűnek tekinti a -es mátrixok gyűrűjében. Az 1, i, j, k báziskvaterniókat ezek a mátrixok ábrázolják:

ahol is a komplex képzetes egységet jelöli az egyértelműség kedvéért.

Ebben az ábrázolásban

ahol az i-edik Pauli-mátrixot jelöli.

Eszerint a kvaterniók halmaza megfelel a

mátrixok halmazának.

Ezeknek a mátrixoknak mindig a determinánsa, amiből már következik a nullosztómentesség, hiszen a mátrixok gyűrűjében a nullosztók determinánsa nulla, itt pedig az összes nem nulla mátrix determinánsa pozitív. A műveletek asszociativitása a mátrixműveletek asszociativitásából következik. Az szorzására vonatkozó szabályok egyszerű számolással igazolhatók.

A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti -es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.

Hányadosalgebra[szerkesztés]

Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a háromhatározatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.

Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az által generált kétdimenziós euklideszi sík Clifford-algebrájaként áll elő.

A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A Cℓ(V,Q) Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:

A háromdimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az által generált euklideszi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.

Alapműveletek[szerkesztés]

Valós és képzetes rész[szerkesztés]

Az

kvaternió valós része:

míg a többi koordináta a képzetes részhez tartozik:

A képzetes részt gyakran a valós háromdimenziós vektorok vektorterével azonosítják:

.

Ha az kvaterniókat a valós skalárból és a háromdimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:

, ahol és ,

akkor a szorzás felírható így:

A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.

Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:

Ez egy háromdimenziós vektortér, aminek egy bázisa .

Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:

Konjugálás és norma[szerkesztés]

Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:

A konjugált másként is kifejezhető:

A konjugálás legfontosabb tulajdonságai:

  • , a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió
  • és
    minden valós λ számra, vagyis a konjugálás lineáris leképezés fölött
  • , az vektorok normája mindig valós, és sohasem negatív

Ezt a mennyiséget az kvaternió normájának is nevezik.

Erre a normára teljesül az

összefüggés, így ezzel a normával a kvaterniók Banach-algebrát alkotnak.

Ahogy a komplex számoknál, úgy a kvaternióknál is megadható a valós és a képzetes rész a konjugálás segítségével:

  • a valós rész;
  • a képzetes rész.

Ha egy kvaternió megegyezik a konjugáltjával, akkor valós. Ha a konjugálás ellentettjére változtatja, akkor tisztán képzetes.

A norma kifejezhető a konjugálással:

Invertálás[szerkesztés]

Az kvaternió inverze az az x−1 kvaternió, amivel

és

Mivel a szorzás nem kommutatív, azért kétféle osztás definiálható:

és

amik rendre a

és az

egyenleteket oldják meg.

A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha a valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók ferdetestének centruma a valós számok halmaza. Így a kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy a valós.

Ezen kívül teljesül

ugyanis

és

Ezzel egy kvaternió inverze

mivelhogy

valós, és , ezért ez a kifejezés tört alakban is írható:

Egységkvaterniók[szerkesztés]

Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan

Tetszőleges kvaternióra

az x kvaternióval megegyező irányú egységkvaternió.

Egységkvaternió inverze újra egységkvaternió. Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók csoportot alkotnak a szorzásra.

Az

:

kvaterniók szintén egységkvaterniók. Részcsoportot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.

A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak. Az egységkvaterniók halmaza egy háromdimenziós gömbfelszín a négydimenziós térben, ami ezzel Lie-csoporttá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.

A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:

Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy kétdimenziós gömbfelszínt alkotnak a háromdimenziós térben. Minden kvaternió, aminek a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:

De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.

Trigonometrikus alak[szerkesztés]

Ahogy a komplex számok,

úgy a kvaterniók is leírhatók trigonometrikus alakban.

Az tiszta egységkvaterniók trigonometrikus alakja:

és ez egyértelmű, ha

A kvaterniókra kiterjesztett exponenciális függvény segítségével:

más szóval: az exponenciális leképezés bijekció az normájú tiszta kvaterniók halmaza és a -1 nélküli egységkvaterniók halmaza között.

Általánosabban, minden nem valós kvaternió egyértelműen felírható, mint

ahol , mint előbb

vagy a negatív valós számokon kívüli kvaterniók

,

ahol tiszta kvaternió, amire .

Konstrukciók kvaterniókkal[szerkesztés]

Szorzatok[szerkesztés]

Két kvaternió képzetes részének vektoriális szorzata a két kvaternió kommutátorának kétszerese:

Ha és ,

akkor

Két kvaternió, mint négydimenziós vektor skalárszorzata éppen vagy :

A kvaternió koordinátái megadhatók, mint

Két kvaternió Minkowski-skalárszorzata az xy szorzat valós része:

Vektoranalízis[szerkesztés]

A következőkben azonosítjuk a tiszta kvaterniókat vektoraival.

Ha így definiáljuk a nabla operátort:

és az

vektormezőre alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy:

Itt a valós, a képzetes rész.

A nabla operátort kéteszer az függvényre alkalmazva:

azaz a operátor úgy hat, mint a Laplace-operátor négyzetgyöke.

Forgatások a háromdimenziós térben[szerkesztés]

Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a forgatások leírására a háromdimenziós térben: rögzített q kvaternióra a

leképezés forgatás -ben.

Ha trigonometrikus alakba írjuk a q kvaterniót:

ahol , és tiszta egységkvaternió, akkor a forgatás szöge , és tengelye .

Minden q egységkvaternió ugyanazt a forgatást definiálja, mint -q; például 1 és -1 is az identitásnak felel meg. Tehát az ortogonális mátrixokkal ellenben ez a megfeleltetés nem egy-egyértelmű: minden R forgatáshoz két egységkvaternió van, amire .

Forgatások egymásutánja, más néven szorzata az egységkvaterniók szorzásának felel meg:

A forgásirány megfordítása a konjugálás megfelelője:

ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.

Mindezek miatt ez a leképezés homomorfizmus, de nem izomorfizmus.

Kapcsolat az ortogonális mátrixokkal[szerkesztés]

A egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix

A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni.

Kapcsolat az Euler-szögekkel[szerkesztés]

Az Euler-szögekre különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a z tengely körül , utána az új x tengely körül , végül az új z tengely körül szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a

kvaternióknak felelnek meg.

Mivel az elforgatott tengelyt forgatjuk, a szorzás sorrendje fordított:

Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is.

A forgáscsoport univerzális fedése[szerkesztés]

Az leképezés művelettartó (homomorfizmus) az egységkvaterniók csoportjából az SO(3) forgatáscsoportba; az egységkvaterniókat azonosítva az generátoraival egy

homomorfizmust kapunk.

Ez egy kétrétegű fedés, aminek magja a centrum. A fedés univerzális, hiszen egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és -mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, i, j és k az SU(2) három hermitikus generáló mátrixának, a Pauli-mátrixoknak felel meg:

 ,     ,     

Így függ össze a két alaptétel:

i = σx/i, j = σy/i és k = σz/i,

ahol i a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σxσy= iσz kapcsolat éppen az i j=k relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a i, j és a k báziskvaterniókkal, ami fontos a kvantummechanika matematikai modellezésében. Közelebbről , aminek valós vektorkoordinátái αx, αy és αz. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2π-vel  (=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után.

A négydimenziós tér ortogonális leképezései[szerkesztés]

A háromdimenziós esethez hasonlóan minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:

az egységkvaterniókkal.

Teljesül, hogy:

Ez a konstrukció fedést ad:

aminek magja .

A kvaterniók algebrája[szerkesztés]

Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.[1]

centruma , ezért definiálható rajta redukált norma és redukált nyom:

és

A valós számokról a komplex számokra áttérve a kvaterniók algebrája mátrixalgebrává válik:

A tenzorszorzat faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy -val izomorf algebrát alkotnak.

Az

ahol az

involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.

A kvaterniók algebrája egy negatív definit szimmetrikus kvadratikus alakkal ellátott Clifford-algebrájának tekinthető.

Alkalmazásai[szerkesztés]

A kvaterniók legfontosabb haszna, hogy a tisztán képzetes (azaz a valós része, az 'a' komponens 0) számokkal leírható a háromdimenziós vektortér. A kvaterniókat a háromdimenziós mozgásokkal való szoros kapcsolata miatt felhasználják robotok vezérlésénél.

A kvaterniókat CAD programok is felhasználják[2] a térbeli elforgatások kezelésére és az elforgatás tengelyének és szögének tárolására, ugyanis egy kvaternióhoz csak 4 lebegőpontos adatot kell tárolni (a tengellyel együtt), szemben az elforgatási mátrix 3×3 elemével és az elforgatás tengelyéhez szükséges további 3 elemmel. A kvaternió könnyedén átalakítható elforgatási mátrix alakba, és a kvaterniókkal való számítások gyakran kevesebb műveletet igényelnek, mint a vektoros–mátrixos számítások.[3] Kvaterniókat alkalmaz pl. a MicroStation CAD program.[4]

Négynégyzetszám-tétel[szerkesztés]

Legyen

és

Az

egyenlőségből adódik a tisztán valós azonosság:

Ha az összes szám egész, akkor ez az egyenlőség azt állítja, hogy két, négy négyzetszám összegeként felírható szám szorzata szintén felírható négy négyzetszám összegeként.

A négynégyzetszám-tétel szerint minden természetes szám felírható négy négyzetszám összegeként. Az előző állítás szerint elég a tételt a prímszámokra belátni. Ez alapján ezt az utóbbit is nevezik négynégyzetszám-tételnek.

Rokon témák[szerkesztés]

A kvaterniókhoz hasonló konstrukciókat hiperkomplex számoknak is nevezik. A Cayley-számok a kvaterniók nyolcdimenziós analogonjai. Az ő körükben a szorzás se nem kommutatív, se nem asszociatív. A Cayley-számok szorzása alternatív:

és minden a, b Cayley-számra.

Források[szerkesztés]

  1. Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974)
  2. Marsh Duncan: Applied geometry for computer graphics and CAD (angol nyelven) pp. 56-65. Springer, 2005. (Hozzáférés: 2013)
  3. Quaternions and spatial rotation (angol nyelven) (wiki). Wikipedia, 2013. (Hozzáférés: 2013) A kvaterniók és a térbeli elforgatás, A teljesítmény összehasonlítása
  4. Intergraph Standard File Formats (Element Structure) / Quaternion (3D) (angol nyelven). Intergraph, 2001. (Hozzáférés: 2013) Intergraph és MicroStation szabványos adatformátumok