Euklideszi gyűrű

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma. Lényegében egy olyan gyűrű, amiben a maradékos osztás, más néven euklideszi osztás tétele igaz. Utóbbinak feltétele, hogy egy speciális függvény, az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn.

Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában, mivel számos „jó” tulajdonságuk van, például teljesül bennük a számelmélet alaptétele.

Definíció[szerkesztés]

Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk, ha benne norma értelmezhető, azaz

,

valamint minden és számmal elvégezhető a maradékos osztás, azaz

.[1] Bizonyítható, hogy ha ez létezik, akkor egyértelmű.

Példák[szerkesztés]

Az alábbiak euklideszi gyűrűk, ez általában könnyen ellenőrizhető.

  • Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel, mint normával ellátva. A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető, a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva, ezért mondhatni definíció szerint teljesül.
  • Ha test, akkor a felette lévő polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi. Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk:
Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket, figyelembe véve, hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei. Már csak az euklideszi osztást kell igazolni. Legyen . Az euklideszi osztás azt jelenti, hogy , hogy és . Ha , akkor . Egyébként legyen , és . Így a polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk, tehát lesz olyan , hogy . Ekkor a és polinomok teljesítik a feltételünket, erről visszaszorzással meggyőződhetünk.
  • A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával. A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható, a maradékos osztás kissé nehézkesebb. Legyen . Olyan számokat keresünk, hogy . Ha ezt átalakítjuk kissé, akkor kapjuk, hogy , ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik, hogy . Az egyenlőség miatt , ami jó is lesz maradéknak. Legyen tehát , és keressünk olyan számokat, hogy , valamint , azaz legyenek a legközelebbi egészek.Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt. Ha pedig , akkor készen is vagyunk, mivel .
  • Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi.[2]

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is. Ez azonban fordítva nem igaz.
Bizonyítás: Legyen a gyűrű egy ideálja, és a legkisebb nem nulla normájú eleme. Azt kell belátni, hogy , azaz a gyűrű minden ideálja főideál. A nyilvánvalóan igaz, mivel tartalmazza minden többszörösét. Válasszunk egy tetszőleges elemet -ből. Erre igaz a gyűrű definíciója miatt, hogy , ahol . Ezért , azaz , és mivel minimális volt, ezért lehetséges csak. Ezért , emiatt .[3] A fordítottjára példa az gyűrű, ami főideálgyűrű, de nem euklideszi.[4]
  • Érvényes a számelmélet alaptétele. Azonban attól, hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel, még nem lesz euklideszi.
  • Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is. E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság, hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják.
  • Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója. Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával.

Források[szerkesztés]

  1. Fried Ervin. Algebra II 
  2. Király Bertalan, Dr. Orosz Gyuláné. „Egy euklideszi gyűrű”. Acta Academiae Paedagogicae Agriensis, 71-76. o.  
  3. Kiss W. Emil: Algebra 3 előadás jegyzete
  4. Kiss Emil. Bevezetés az algebrába, 294. o