Ciklikus csoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ciklikus csoporton a csoportelméletben olyan csoportot értünk, melyet egy elemének egész kitevős hatványai előállítanak.

A ciklikus csoportok a leginkább átlátható algebrai szerkezetű, legkezelhetőbb csoportok közé tartoznak. Az m elemű (m pozitív egész szám) ciklikus csoportok izomorfak a moduló m maradékosztályok additív csoportjával (Zm={0,1,…,m-1}-gyel), a végtelen elemszámú ciklikus csoportok pedig magával az egész számok additív csoportjával (Z illetve Z+). A véges csoportok osztályozásának elméletében nagy jelentősége van a ciklikus csoportoknak, mert minden prím elemszámú csoport ciklikus csoport, amikből minden véges Abel-csoport felépíthető.

A ciklikus csoportok Abel-csoportok, ezért additív jelöléssel is találkozhatunk.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A ciklikus csoport definíciójának felírása előtt vissza kell utalnunk a csoportbeli egész kitevős hatványozás illetve a generált részcsoport fogalmára.

Definíció. Azt mondjuk, hogy a (G,\cdot) csoport ciklikus, ha van olyan G-beli a elem, melyre

G=\{a^n \mid n = 0, \pm1, \pm2, ... \}

Ekkor a-t a G (egyik) generátorelemének nevezzük.

Megjegyzés. A definíció egy ekvivalens megfogalmazása, hogy G akkor és csak akkor ciklikus, ha létezik olyan a eleme, hogy az a-t tartalmazó egyetlen G-beli részcsoport maga G, azaz létezik aG, hogy minden G-beli H részcsoportra

a\in H \Rightarrow H=G.

Ebben az esetben tehát a generálja G-t, vagyis

\left\langle a \right\rangle=G.

Világos, hogy

\left\langle a \right\rangle = \lbrace a^n \mid n \in \mathbb{Z} \rbrace ,

ugyanis egyrészt a hatványozás csoportbeli azonosságainak felhasználásával belátható, hogy

\forall\; b,c\!\in \!\{a^n \mid n\in \mathbb{Z}\} \;\; b\cdot c^{-1}\!\in\! \langle a \rangle

tehát

\{a^n \mid n\in \mathbb{Z}\}

részcsoport G-ben, másrészt ez a legszűkebb a-t tartalmazó részcsoport, hiszen minden G-beli H részcsoport tartalmazza a és a−1 összes nemnegatív egész kitevőjű hatványát.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1. Az egész számok halmaza az összeadásra nézve ciklikus csoportot alkot, mely egybeesik az egész számok gyűrűjének additív csoportjával, azaz Z+-szal. Ebben a csoportban generátorelem az 1 ∈ Z+ szám:

\mathbb{Z}^+ = \{1\cdot n\mid n\in \mathbb{Z}\}

Hasonlóképpen generátorelem még a (-1) ∈ Z+ szám is.

Megjegyzés. Az 1\cdotn jelölés additív, abban az értelemben, hogy a hatványozás szokásos csoportelméleti jelölése helyett ( an ) a + jelhez adekvát a + a + … + a = n\cdota, n tagú összeg alakjában szerepelnek a generált csoport elemeit.

2. Ha m nemnulla természetes szám, akkor a Z / mZ faktorcsoport a + komplexusösszeggel ellátva ciklikus csoportot alkot. Z / mZ (más jelöléssel Zm) a moduló m maradékosztályok additív csoportja. Az mZ komplexus az m-mel osztható egész számok részcsoportja, Z / mZ pedig egyenlő az

\{m\mathbb{Z}+r\mid\ r=0,1,...,m-1\}

mellékosztályok halmazával, ahol r = 0, 1, …, m-1 az m-mel való osztás maradéka (mZ + r pedig a Z következő részhalmaza, vagy más néven komlexusa: {mq + r | q ∈ Z} )

3. Ha p prím, akkor Zp nemnulla elemei ciklikus csoportot alkotnak a "maradékok" szorzásával, mint csoportművelettel ellátva. Ekkor a Z / pZ faktorgyűrű multiplikatív része

\mathbb{Z}_p^*=\mathbb{Z}_p\setminus\{0\}

éppen p-1 elemű, és generátoreleme bármely nem 1 elem. (Sőt, az is igaz, hogy ekkor Zp* egy p-1 elemű véges, kommutatív test.)

4. Vegyük az n oldalú szabályos sokszög összes olyan saját magára történő leképezéseit, melyek megtartják a körüljárási irányt. Ezen leképezések ciklikus csoportot alkotnak a leképezések egymásutánjával, mint művelettel ellátva. A csoport elemszáma n, generátoreleme a 2π / n szögű elforgatás.

Minden ciklikus csoport izomorf vagy az egész számok, vagy a maradékosztályok additív csoportjával mod n, ahol n egész.

Elem rendje – ciklikus részcsoport rendje[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A ciklikus csoportok esetén nagy jelentősége van az elemek rendjének.

Definíció. Ha G csoport, e a neutrális eleme és aG, akkor az a elem rendjének nevezzük azt a legkisebb pozitív egész k számot, melyre

a^k=e\,

Az a elem rendjét

o(a)\,

-val jelöljük.

Ekvivalens megfogalmazás: elem rendje az elem által generált részcsoport rendje.

Az o(a)\, jelölés a "kis ordó" függvényből ered. Szintén elterjedt jelölés az abszolútérték jel is: |a|

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A ciklikus csoportok Abel-csoportok
  • Egy ciklikus csoporthoz több elem lehet, amivel generálható. \mathbb{Z} generátorai +1 és -1; \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} generátorai a redukált maradékosztályok, vagyis az n-hez relatív prím maradékosztályok. Számuk megadható az Euler-féle φ függvénnyel.
  • Ha d osztója n-nek, akkor a d rendű elemek száma az n rendű csoportban:
\Big| \{a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} |\text{o}(a) = d\} \Big|
Más elemrend nincs.
  • Egy a elem rendje:
o(a) = n / legnagyobb közös osztó(n,a).
  • Két ciklikus csoport direkt szorzata (additív jelölésesetén direkt összege) akkor és csak akkor lesz újra ciklikus, ha rendjeik relatív prímek. Ekkor a csoportok rendjei összeszorzódnak.
  • Minden végesen generált Abel-csoport ciklikus csoportok direkt szorzata (vagy direkt összege).

Részcsoportok és faktorcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ciklikus csoport összes részcsoportja és faktorcsoportja újra ciklikus. Példa: az m-mel osztható egész számok részcsoportja m\mathbb{Z}, aholm természetes szám. Különböző m-ekre különbözőek ezek a csoportok, és m≠0 esetén izomorfak \mathbb{Z}-vel. Az ilyen csoporttal vett faktorcsoportok éppen a maradékosztályok csoportjai.

\mathbb{Z} részcsoportjainak hálója izomorf a természetes számok oszthatósági hálójának duálisával. \mathbb{Z} minden faktorcsoportja véges, kivéve a \mathbb{Z}/\{0\} triviális faktorcsoportot.

A \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} csoportnak minden 0 < d osztója n-re van egy 'd rendű részcsoportja, amit az n/d elem generál: {kn/d | k=0, ..., d-1}. Minden d pozitív osztóra egy, és csak egy részcsoport létezik, és más részcsoport nincs. Ezért az n rendű ciklikus csoport részcsoporthálója izomorf n oszthatósági hálójával.

Egy ciklikus csoport akkor és csak akkor egyszerű, ha rendje prímszám.

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha n természetes szám, akkor a (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* multiplikatív csoport akkor és csak akkor ciklikus, ha n 2, 4, pk vagy 2pk, ahol p páratlan prím, és k természetes szám. Ezeknek a generátorai a primitív gyökök modulo n.

Minden p prímre a (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* p-1-edrendű multiplikatív csoport ciklikus. Általában, minden véges test multiplikatív csoportja ciklikus.

Egy véges test véges testbővítéseinek Galois-csoportja véges ciklikus csoport. Megfordítva, minden véges K testhez és minden véges Galois-csoporthoz létezik L/K testbővítés, aminek Galois-csoportja éppen G.

Endomorfizmusok és automorfizmusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-edrendű ciklikus csoport endomorfizmusainak gyűrűje izomorf a \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} maradékosztály-gyűrűvel. Ebben az izomorfizmusban az r maradékosztály annak az izomorfizmusnak felel meg, ami minden elemet az r-edik hatványra emel. Következik, hogy az n-edrendű ciklikus csoport automorfizmuscsoportja izomorf a \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} gyűrű multiplikatív csoportjával. Ez a csoport azokból az elemekből áll, amik relatív prímek n-hez, ezért ez a csoport φ(n) rendű.

A \mathbb{Z} ciklikus csoport endomorfizmusainak gyűrűje izomorf a \mathbb{Z} gyűrűvel, automorfizmuscsoportja pedig izomorf a {+1, -1} egységcsoporttal, ami egy 2 rendű ciklikus csoport.

Ciklikus csoportok osztályozási tétele[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A G ciklikus csoport esetén az

exp_g: \mathbb{Z}\rightarrow G;\; n\mapsto g^n

leképezés szürjektív csoporthomomorfizmus Z+ és G között, amennyiben g a G csoport egy generátoreleme.

Állítás. Ha a G ciklikus csoport végtelen rendű, akkor tetszőleges gG esetén az expg leképezés Z+ \rightarrow G izomorfizmus.

Ugyanis, két tetszőleges egész szám közül a nem nagyobbat m-mel, a nem kisebbet n-nel jelölve, tegyük fel, hogy gn = gm. Szorozzunk be g-m-mel: gn-m = e. Vagyis g legfeljebb n-m -ed (nemnegatív szám) rendű elem, de g hatványai előállítják G-t, mely végtelen elemszámú, így n-m más véges szám nem lehet, csak 0, amiből n=m következik. expg tehát injektív.

TételOsztályozási tétel – A G ciklikus csoport izomorf

Z-vel, ha végtelen rendű és
Zm-mel, ha m-ed rendű ( m pozitív természetes szám ).

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kiss Emil: Bevezetés a csoportelméletbe