Részcsoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy csoport részcsoportjai azok a nem üres részhalmazai, amik szintén zártak a csoport műveleteire, a szorzásra és az invertálásra nézve, és tartalmazzák az egységelemet. Ha a H csoport részcsoportja G-nek, akkor ennek jele H \leq G. Minden csoportnak vannak részcsoportjai, részcsoport például az egységelemből álló egyelemű halmaz minden csoportban, és az egész csoport is részcsoportja önmagának. Részcsoportok metszete is részcsoport. Két részcsoport uniója akkor és csak akkor részcsoport, ha az egyik tartalmazza a másikat. A részcsoportok generálhatók. Egy csoport részcsoportjai hálót alkotnak a tartalmazásra, mint rendezésre, a halmazelméleti metszetre, mint metszetre, és a halmazelméleti unió általi generálásra, mint egyesítésre nézve.

Ekvivalens definíciók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy G csoport H nem üres halmazára nézve ekvivalensek:

  • H tartalmazza az egységelemet, zárt a szorzásra és az invertálásra
  • HH=H^{-1}=H
  • HH^{-1} \subseteq H

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az egyelemű csoportnak egy részcsoportja van, az egyelemű csoport, vagyis önmaga. Az összes többi csoportnak legalább két részcsoportja van, az egyelemű és önmaga, amik nem esnek egybe. Ezek a triviális részcsoportok.
  • Akárhány részcsoport metszete is részcsoport.
  • Egy csoport részcsoportjai teljes hálót alkotnak, amiben az egyelemű részcsoport a nullelem, és az egész csoport az egységelem.
  • A részcsoportnak lenni reláció antiszimmetrikus, tranzitív és reflexív.
  • Lagrange tétele szerint a részcsoport mérete osztja a tartalmazó csoport méretét. Ebből következik, hogy a prímrendű csoportoknak csak a két triviális részcsoportja van.

Generálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A részcsoportok generálhatók, azaz egy csoport minden részhalmaza generál egy csoportot. A generált részcsoport az a legkisebb részcsoport, ami a halmaz összes elemét tartalmazza. Belátható, hogy ez a csoport az egységelemből, a halmaz elemeiből és azok inverzeiből képzett véges hosszú szorzatokból (végtelen szorzathoz analízis kell) áll. Az E halmaz által generált csoport:

 \langle E \rangle = \{e\} \cup \{ a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n | n \in \N^* \wedge \forall \; 1 \leq i \leq n : (a_i \in E \vee a_i^{-1} \in E ) \}

Az egy elem által generált csoportok ciklikus csoportok, és a generátorelem egész kitevős hatványaiból állnak. A ciklikus csoport mérete, vagyis rendje megegyezik generátoreleme rendjével.

Mellékosztályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy H részcsoport bal oldali, illetve jobb oldali mellékosztályai a hH, illetve a Hh alakú halmazok, ahol h eleme H-nak. A bal és a jobb oldali mellékosztályok száma megegyezik; ez a részcsoport indexe. Minden mellékosztály mérete megegyezik a részcsoport rendjével. Az azonos oldali mellékosztályok diszjunktak. Ha a jobb és a bal oldali mellékosztályok megegyeznek, akkor a részcsoport normálosztó. Ez alapján bizonyítható Lagrange tétele, hogy a tartalmazó csoport rendje megegyezik a részcsoport rendjének és indexének szorzatával.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nyolcadrendű ciklikus csoport részcsoportjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje a Z8 ciklikus csoportot G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}, ahol a művelet a modulo 8 összeadás:

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

A nem triviális részcsoportok: J={0,4} és H={0,2,4,6}, ahol J \leq H.

Az S4 szimmetrikus csoport részcsoportjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az S4 szimmetrikus csoport részcsoportként tartalmazza a triviális részcsoportokat, valamint az egységelem és a másodrendű elemek által alkotott csoportokat. Ezeket a továbbiakban nem tüntetjük fel.

A négy elem összes permutációját tartalmazó S4 szimmetrikus csoport

12 elemű részcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az A4 alternáló csoport csak a páros permutációkból áll



Részcsoportjai:
Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg
Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svgCyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg


8 elemű részcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

8 rendű diédercsoport

Részcsoportjai:
Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,6,7).svgKlein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svgCyclic group 4; Cayley table (element orders 1,2,4,4); subgroup of S4.svg
 
8 rendű diédercsoport

Részcsoportjai:
Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,5,14,16).svgKlein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svgCyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,2,4); subgroup of S4.svg
 
8 rendű diédercsoport

Részcsoportjai:
Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,2,21,23).svgKlein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svgCyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,4,2); subgroup of S4.svg


6 elemű részcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

6 rendű diédercsoport

Részcsoportjai:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg
S3 szimmetrikus csoport

Részcsoportjai:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg
S3 szimmetrikus csoport

Részcsoportjai:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg
S3 szimmetrikus csoport

Részcsoportjai:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg


4 elemű részcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Klein-csoport
Klein-csoport
Klein-csoport


Z4 ciklikus csoport
Z4 ciklikus csoport
Z4 ciklikus csoport


3 elemű részcsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Z3 ciklikus csoport
Z3 ciklikus csoport
Z3 ciklikus csoport
Z3 ciklikus csoport


Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]