Háló (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
4 elemű halmaz osztályozásaiból képezett háló Hasse-diagramja.

A matematikában a hálónak két egymással ekvivalens definíciója létezik, az egyik rendezési relációkkal (ld. részbenrendezett halmazok) definiálja a háló fogalmát, a másik pedig (amely R. Dedekindtől ered, aki a német Dualgrouppe (duálcsoport, kettőscsoport) elnevezést találta rá ki[1]) kétváltozós műveletekkel, kétműveletes algebrai struktúraként. A részbenrendezett halmazok közül azokat nevezzük hálónak, amelyekre bármely kételemű részhalmazára teljesül, hogy az adott kételemű halmaznak van szuprémuma és infimuma. Ha egy részbenrendezett halmaz bármely részhalmazára (tehát nem csak a kételeműekre) teljesül az, hogy létezik szuprémuma és infimuma, akkor teljes hálóról beszélünk. Az algebrai struktúrák felől megközelítve a háló fogalmát azt mondhatjuk, hogy a hálók olyan struktúrák, amelyekben definiálva van két kétváltozós kommutatív, asszociatív művelet, amelyek eleget tesznek az ún. elnyelési azonosságoknak is.

Definíció[szerkesztés]

A háló alábbi két definíciója ekvivalens:

Definíció részbenrendezett halmazok használatával[szerkesztés]

Az részbenrendezett halmazt hálónak nevezzük, ha bármely kételemű részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

Az részbenrendezett halmazt teljes hálónak nevezzük, ha bármely részhalmazának létezik legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.

Definíció algebrai struktúrák használatával[szerkesztés]

Az kétműveletes algebrai struktúrát hálónak nevezzük, ha , kétváltozós műveletek -n, amelyekre tetszőleges elemekre teljesülnek a következők:

, (kommutativitás),
, (asszociativitás),
, (elnyelési azonosságok).

Az műveletet egyesítésnek, a műveletet pedig metszetnek hívjuk.

Ha a két műveletet megcseréljük, akkor a duális hálót kapjuk.

Példák[szerkesztés]

  • Csoport részcsoportjai a generálás és a metszet művelettel hálót alkotnak. Részbenrendezés: tartalmazás. Létezik a normálosztók hálója is.
  • Gyűrű részgyűrűi a generálás és a metszet művelettel hálót alkotnak. Részbenrendezés: tartalmazás. Létezik az ideálok hálója is.
  • Vektortér alterei a generálás és a metszet művelettel hálót alkotnak. Részbenrendezés: tartalmazás.
  • A természetes számok halmazán két számhoz hozzárendelve azok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét két olyan műveletet definiálunk, amelyekkel együtt a természetes számok halmaza hálót alkot. Részbenrendezés: oszthatóság.
  • Nemüres halmaz részhalmazai hálót alkotnak a halmazelméleti unió és metszet műveletekkel. Részbenrendezés: tartalmazás.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • A hálóaxiómákból következik, hogy a háló mindkét művelete idempotens, azaz
,
.
  • az idempotencia következményeként a háló részben rendezhető, ahol ekvivalens . Erre a rendezésre minden kételemű halmaznak van legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja.
  • fedi -t, ha , és nincs , .

Hasse-diagramok[szerkesztés]

A véges rendezett halmazok irányított gráfokkal ábrázolhatók, amiben az elemek a pontok, és egy a-b él akkor létezik, ha b fedi a-t. Ezeket a gráfokat Hasse-diagramoknak nevezzük. Az ilyen gráfok úgy is ábrázolhatók, hogy az összes él felfelé mutasson. Így is szokás ábrázolni őket, de irányítás nélkül.

Speciális hálók[szerkesztés]

Az L háló disztributív, ha mindkét művelet disztributív a másikra:

minden és
minden -re.

Az L háló moduláris, ha:

minden -re.

Ez ekvivalens a következővel:

minden -re.
minden -re.
minden -re.

A disztributivitásból következik a modularitás, de fordítva nem.

Az L háló teljes, ha tetszőleges részhalmazának van legkisebb felső korlátja és legnagyobb alsó korlátja is. Ezt a tulajdonságot az egész hálóra alkalmazva kapjuk, hogy van legnagyobb és legkisebb eleme.

Speciális elemek[szerkesztés]

Ha az egyesítésnek van neutrális eleme, akkor ezt a háló nullelemének (0) nevezzük. Ha létezik, akkor egyértelmű, és a háló legkisebb eleme. Duálisan, ha a metszetnek van neutrális eleme, akkor az a háló egységeleme (1). Ez szintén egyértelmű, ha létezik, és a háló legnagyobb eleme.

Ha az L hálóban van 0 és 1, és valamely a elemhez van b elem, hogy

és ,

akkor b-t a komplementerének hívjuk. Ha L minden elemének van komplementere, és az egyértelmű, akkor az L háló komplementumos.

A komplementumos disztributív háló Boole-háló, más néven Boole-algebra.

Homomorfizmusok és részhálók[szerkesztés]

Legyen és két háló. Ha az függvényre teljesül, hogy

,

akkor f hálóhomomorfizmus. Ha f bijektív, akkor izomorfizmus.

A hálóhomomorfizmusok rendezéstartók, azaz monoton függvények: ha

ab, akkor f(a) ≤ f(b).

Ez az állítás nem fordítható meg, azaz nem minden monoton hálófüggvény homomorfizmus.

M részhálója L-nek, ha zárt az L-beli műveletekre nézve, azaz minden a és b elemére

a b és a b eleme M-nek.

M háló az L-beli műveletek M-re vett leszűkítésével.

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Dean, E. T.: Dedekind's treatment of Galois Theory in the Vorlesungen. A Dietrich College of Humanities and Social Sciences Filozófiai Tanszékének közleményei, 109. sz., 2009; 3. oldal. Angol nyelven, PDF. Hozzáférés: 2012-04-27.

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1959
  • Czédli Gábor: Boole-függvények, Polygon, Szeged, 1995
  • Fried Ervin: Algebra
  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK

Források[szerkesztés]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Háló (matematika) témájú médiaállományokat.