Részhalmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A részhalmaza B-nek, azaz B tartalmazza A-t.

A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy A részhalmaza a B halmaznak, és így jelöljük A \subseteq B[1], ha az a A halmaz összes elemét tartalmazza a B halmaz, azaz  \forall a \in A : a \in B.
Ha A \subseteq B, de A \neq B, azaz B-nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme A-nak, akkor azt mondjuk, hogy A valódi részhalmaza B-nek, és ezt így jelöljük: A \subset B[1].

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Minden halmaz önmagának részhalmaza, azaz tetszőleges A halmazra teljesül, hogy A \subseteq A.
  • Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, azaz tetszőleges A halmazra teljesül, hogy \emptyset \subseteq A.
  • Ha A \subseteq B és B \subseteq A, akkor A = B.
  • A \subseteq B pontosan akkor áll fenn, ha A \cup B = B.
  • A \subseteq B pontosan akkor áll fenn, ha A = A \cap B.
  • A \subseteq B pontosan akkor áll fenn, ha A \backslash B = \emptyset.

A számhalmazok kapcsolata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • N = természetes számok halmaza (0, 1, 2, … ,∞)
  • Z = egész számok halmaza (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2,…)
  • Q = racionális számok halmaza (z1 / z2 alakú számok, ahol z1, z2 ∈ Z z2 ≠ 0)
  • Q' = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként)
  • R = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége (Q ∪ Q'))

Ekkor: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, továbbá Q' ⊂ R.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ^ a b A részhalmaz jelölése a szakirodalomban nem egységes, használatos még az A \subset B jelölés is. Utóbbi esetben a valódi részhalmazt a következőképpen jelöljük: A \subsetneq B.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]