Részhalmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A részhalmaza B-nek, azaz B tartalmazza A-t.

A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

Definíció[szerkesztés]

Legyenek és tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy részhalmaza a halmaznak, és így jelöljük [1], ha az a halmaz összes elemét tartalmazza a halmaz, azaz .
Ha , de , azaz -nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme -nak, akkor azt mondjuk, hogy valódi részhalmaza -nek, és ezt így jelöljük: [1].

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Minden halmaz önmagának részhalmaza, azaz tetszőleges halmazra teljesül, hogy .
  • Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, azaz tetszőleges halmazra teljesül, hogy .
  • Ha és , akkor .
  • Ha és , akkor .
  • pontosan akkor áll fenn, ha .
  • pontosan akkor áll fenn, ha .
  • pontosan akkor áll fenn, ha .

A számhalmazok kapcsolata[szerkesztés]

  • N = természetes számok halmaza (0, 1, 2, … ,∞)
  • Z = egész számok halmaza (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2,…)
  • Q = racionális számok halmaza (z1 / z2 alakú számok, ahol z1, z2 ∈ Z z2 ≠ 0)
  • Q' = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként)
  • R = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége (Q ∪ Q'))

Ekkor: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, továbbá Q' ⊂ R.

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ^ a b A részhalmaz jelölése a szakirodalomban nem egységes, használatos még az jelölés is. Utóbbi esetben a valódi részhalmazt a következőképpen jelöljük: .

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3

Külső hivatkozások[szerkesztés]