Természetes számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Természetes számoknak nevezik

A sorozat lépésköze 1, tehát a sorozat következő tagját mindig úgy kapjuk, hogy az utolsó taghoz hozzáadunk 1-et. Végtelen sok természetes szám van, mivel bármilyen nagy számhoz is hozzá tudunk adni 1-et, újabb tagot képezve a sorozatba.

A természetes számok halmazát a matematikában egy tipográfiailag kiemelt félkövér vagy „blackboard bold” (kontúros) betűvel jelölik (a latin naturalis, azaz 'természetes' szó nyomán). A természetes számok halmazának megszámlálhatóan végtelen számú eleme van.

Történelmi vonatkozások[szerkesztés]

A "természetes" elnevezés eredete[szerkesztés]

Az ókorban a természetes számokat egyszerűen csak számoknak nevezték (a görögök még az 1-et sem értették közéjük); más nevezetes számosztályokat nem tartottak számon (a racionális számokat pl. számok arányainak tekintették, nem pedig önálló számosztálynak).

A "természetes" elnevezés valószínűleg csak a 19. század végén alakult ki. R. Dedekind, akitől a nevezetes számosztályok (természetes, egész, valós stb.) betűs jelöléseinek egy része származik (ezek szintén ebben az időben alakultak ki), egy 1872-es cikkében a természetes számokról még mint „úgynevezett természetes számokról” beszél (vagyis a kifejezés még nem rögzült teljesen).[5] Grosschmid Lajos magyar matematikus egy 1911-es számelméleti cikkében[6] (egy lábjegyzetben) Dedekindnek tulajdonította a „természetes” kifejezést („Természetes szám alatt - Dedekind nyomán - értek bármely pozitív raczionális egész számot. V. ö. : naturliche Zahl; Dirichlet-Dedekind i.m.[7] XI. Suppl. 436. l.”).

Természetes szám-e a nulla?[szerkesztés]

A szakirodalomban eltérések találhatóak abban, hogy a 0 számot a természetes számok közé sorolják-e; másképp szólva, hogy a "természetes szám" elnevezéssel a {0; 1; 2; 3; 4, ....} vagy az egy elemmel szűkebb {1; 2; 3; 4; ...} halmazt illessük-e. Mivel ez nem szorosabb értelemben véve matematikai probléma (nem lehet matematikai tételekből kiszámítani vagy bebizonyítani, természetes szám-e a nulla), hanem pusztán egy elnevezés tartalmáról való döntés, így definíció, megállapodás kérdése, hogy mi tartozik a névvel jelölt csoporthoz. A kérdés mégsem érdektelen, mert, bár a probléma nem matematikai jellegű, eldöntésének már vannak ilyen következményei - a feladatok, állítások, tételek rendszeresen hivatkoznak a természetes számok halmazára, és a feladat megoldhatóságát, a tétel érvényességét vagy bizonyíthatóságát döntheti el a fogalom értelmezése.

Régebben a nulla nem tartozott a természetes számokhoz. A klasszikus, ösztönszerű számfogalom megformálódásakor sem vesszük a számok közé a „semmit”, a nulla Európába csak arab közvetítéssel jutott el a középkorban, a nullával nem lehet osztani. Ennek az értelmezésnek az alátámasztására következzenek idézetek:

természetes számok: pozitív egész számok;[8]
A természetes számok pozitív számok. ... A 0 nem tartozik sem a negatív, sem a pozitív számokhoz, hanem azokat szétválasztja.[9]
Tegyük fel, hogy , és
i) ,
ii) minden esetében .
Ekkor .
...
... vezessük be a későbbiekben is gyakran előforduló
   jelölést.[10]

A 19. században, halmazelméleti levezetésekben vették először a nullát, mint üres halmazt a természetes számok közé, a definíciót „nem-negatív egész számok”-ra módosítva. Az egyértelműség keresésének szándékával született az a szokás, hogy a nem-negatív egészeket , a pozitív egészeket, tehát a nulla nélküli értelmezést pedig vagy szimbólummal jelölik; az jel önmagában bizonytalanságban hagyja az olvasót. Az jelöléssel is lehet találkozni, de ennek értelmezése nem egységes.

Jellemző, hogy G. Peano, akinek a természetes számok első formális matematikai jellegű elméletének lefektetését tulajdonítják, első ilyen tárgyú cikkeiben még nem sorolta a 0-t a természetes számok közé, későbbi cikkeiben (1898-tól, Formulaire de mathématiques II. c. kiadvány, 2. fej.) azonban már igen. Peano használta és vezette be (ugyanott) a fentebb említett N0 és N1 jeleket is a kétféle számhalmaz megkülönböztetésére.[11]

A természetes számok formális-axiomatikus elmélete – a Peano-aritmetika[szerkesztés]

Minden matematikai természetű témakör akkor tehető tudományos vizsgálódás tárgyává, ha rögzítjük azt az axiomatikus elméletet, melyben a témakör összes állítása formális kijelentés alakjában megfogalmazható. A természetes számok matematikájának axiomatikus elmélete, mint elsőrendű elmélet a Peano-aritmetika, jelben: PA (Giuseppe Peano olasz matematikus tiszteletére).

PA alapfogalmai a 0 konstansjel (individuumnév), melyet nullának nevezünk, a ' egyváltozós függvényjel(egybemenetű névfunktor), melyet rákövetkezés vagy szukszceszor operátornak mondunk (szemléletesen n' az n számot pontosan eggyel követő szám), a + kétváltozós függvényjel, azaz az összeadás és a függvényjel, ami a szorzás.

PA axiómái a következők (az n, m, k, … jelek olyan változók, melyek természetes számokat szimbolizálnak):

(P1) n' 0
(azaz a nulla semminek sem rákövetkezője)
(P2) n' = m' n = m
(ha két szám rákövetkezője egyenlő, akkor a számok is egyenlők)
(P3) n + 0 = n
(a nulla alaptulajdonsága)
(P4) n + m' = (n + m)'
(összeg rákövetkezője)
(P5) n 0 = 0
(nullával való szorzás)
(P6) n m' = (n m) + n
("elődisztributivitás")
(P7) ( F(0) & (F(n) F( n' ) ) ) F(n)
(a teljes indukció formulasémája, F tetszőleges a Peano-aritmetika nyelvén megfogalmazható tulajdonság (predikátum))

A 0 rákövetkezőjét, 0'-t 1-gyel jelöljük. A (P1) axiómába n helyére 0-t helyettesítve ekkor kapjuk, hogy

A természetes számok a halmazelméletben[szerkesztés]

A Peano-aritmetika halmazelméleti modelljének nevezzük az olyan (N, 0,' ,+ ,) rendezett 5-öst, ahol N halmaz, 0 ∈ N, ' :N N függvény, +:N N N, és :N N N pedig művelet, melyekre teljesülnek a PA rendszer axiómái.

Standard modell[szerkesztés]

A természetes számok halmazelméleti modelljeként kiválóan megfelel a

halmaz. Itt rendre

A természetes számok halmaza végtelen (mégpedig megszámlálhatóan végtelen), számosságát az

(alef null – itt a héber ábécé első betűje) szimbólummal jelöljük. Ha mint rendszámra gondolunk rá, akkor az

jelet használjuk.

A természetes számok halmaza a legkisebb számosságú végtelen halmaz.

Rendezési tulajdonságok: A természetes számok halmazának egy nagyon fontos tulajdonsága, hogy (a szokásos rendezéssel) jólrendezett, azaz akárhány (de legalább egy) természetes számot kiválasztva azok közt van egy legkisebb.

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés]

Algebrai tulajdonságok: A természetes számok halmaza az összeadással kommutatív félcsoport, a szorzással szintúgy. Az (N,+) egyműveletes struktúrát a természetes számok additív félcsoportjának, míg az (N, ·) egyműveletes struktúrát a természetes számok multiplikatív félcsoportjának nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra és a szorzásra.

Jegyzet[szerkesztés]

  1. Matematikai kislexikon, Budapest: Műszaki Könyvkiadó, 1972
  2. Hajnal Imre: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1987
  3. Szász Gábor: Matematika I., Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, 21. o.
  4. Négyjegyű függvénytáblázatok – Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések, Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó, 1997, ISBN 963-18-7970-4
  5. Richard Dedekind: A folytonosság és az irracionális számok (angol nyelven, W. W. Beman ford.); 15. old.
  6. Grosschmid Lajos: A négyzetes binóm-kongruencziák gyökeiről. Mathematikai és Physikai Lapok XX. (1911). Kiadja a Mathematikai és Physikai Társulat. Teljes cikk 4.-72. old., hivatkozások: 53. és 61. o.
  7. Dirichlet, P. G. L. - Dedekind, R.: Vorlesungen über Zahlentheorie. Druck und Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1894.
  8. Magyar értelmező kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 2003)
  9. Obádovics József Gyula: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1980), 65. oldal
  10. Kósa András: Ismerkedés a matematikai analízissel (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981), 35-37. oldal
  11. Kennedy, Hubert C.: Peano's Concept of Number. Hist. Mat. I./4. (1974. nov.). 387-408. o. Hiv. beill.: 2013-07-02.

Források[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]