Szürreális számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A szürreális számok fa-szerkezetű megjelenítése

A szürreális számok olyan számrendszert, illetve lineáris kontinuumot alkotnak, ami tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is. Bármely valós szám szürreális számokkal van körülvéve, amelyek közelebb vannak hozzá minden valós számnál. Ebben hasonlítanak a hiperreális számokra, de konstrukciójukban különböznek, viszont tartalmazzák a hiperreális számokat is. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk.

A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik. Conway eredetileg csak számoknak nevezte őket. Ez a könyv nem szakkönyv, hanem párbeszédes regény. A szürreális elnevezés francia eredetű, jelentése: valóságon túli. Az elnevezés Conwaynek is tetszett, és átvette. Leírta a szürreális számokat, és játékok, többek között a go elemzésére használta On Numbers and Games (1976) című könyvében.

Motiváció[szerkesztés]

A szürreális számok több szempontból is érdekesek. Két egyszerű művelettel keletkeznek a semmiből, azonban tulajdonságaikban hasonlítanak a valós számokra. Segítenek bebizonyítani a valós számok alapvető tulajdonságait is, például , vagy ha , akkor . Lehetőséget adnak az absztrakt algebra módszereinek gyakorlására is. Conway a játékok elemzésére is felhasználta a számkört.

Mindezek mellett a szürreális számok a nem standard analízis számára is modellt alkotnak, amiben infinitezimális számok léteznek. Mielőtt azonban definiálnánk őket, tisztában kell lennünk azzal, hogy a konstrukciót halmazelméleti eszközökkel végezzük, tehát nem számtani műveletekkel.

Konstrukció[szerkesztés]

A szürreális számok konstrukciója a Dedekind-szeletekére hasonlít. A szám megadásához két halmazt kell definiálni, amelyek közül az egyik a kisebb, a másik a nagyobb számokat tartalmazza; ezeket a továbbiakban rendre L és R jelöli. A számot ez a két halmaz határozza meg, jelölése L | R. A két halmaznak csak azt a kikötést kell teljesítenie, hogy L összes elemének kisebbnek kell lennie R minden eleménél. Például a konstrukció érvényes 2 és 5 közötti számot ad; hogy melyiket, azt majd később meglátjuk. Ezek a halmazok üresek is lehetnek. Az értelmezése: egy szám, ami L minden eleménél nagyobb, és hasonlóan, jelentése: egy szám, ami R minden eleménél kisebb. A konstrukció rekurzívvá tevéséhez először a rendezést kell kiterjeszteni.

Konstrukciós és összehasonlítási szabály[szerkesztés]

Konstrukciós szabály: Legyenek L és R szürreális számokból alkotott halmazok. Ha az L és az R halmazokra teljesül, hogy R egy eleme sem kisebb vagy egyenlő, mint L elemei, akkor a halmazpár szürreális számot definiál.

Rendezési szabály: Az és az szürreális számokra akkor teljesül , ha kisebb egyenlő nem eleme -nek, és egy eleme sem kisebb egyenlő, mint .

A jelölés egyszerűsítésére elhagyjuk a halmazok zárójeleit, és az üres halmazokat. Így például ugyanaz, mint , illetve megegyezik az szürreális számmal. A kisebb-egyenlő szabályt teljesítő objektumot jólformáltnak is nevezik, hogy megkülönböztessék a nem jólformált objektumokról, amikről később a játékok kapcsán lesz szó.

Relációk[szerkesztés]

A szürreális számok megfelelő relációkkal teljesen rendezhetők. Azonban a fent bevezetett reláció még nem antiszimmetrikus, csak a reflexív és a tranzitív tulajdonságokat teljesíti. Ez azt jelenti, hogy abból, hogy és hogy , nem következik, hogy . Ezen lehet segíteni az == reláció bevezetésével:

Legyen , ha és

Ez egy ekvivalenciareláció, aminek osztályai teljesen rendezettek. Ha x és y ugyanahhoz az ekvivalenciaosztályhoz tartozik, akkor ugyanazt a szürreális számot jelölik. Az x ekvivalenciaosztályát [x] jelöli, ahol x az ekvivalenciaosztályt reprezentálja. Ez az eljárás hasonló a törtek hányadosként való bevezetéséhez, vagy a valós számok Cauchy-sorozatokkal való definiálásához.

Példák[szerkesztés]

Az első példa a két üres halmazzal definiált szürreális szám, mégpedig: . Ez megfelel a konstrukciós szabálynak, mivel az üres halmazok nem tartalmaznak elemeket, amelyek megsértik a konstrukciós szabályt. Ezt a számot jelöli, és ekvivalenciaosztályát egyszerűen úgy írjuk, hogy 0. Az összehasonlítás szabálya szerint

.

A konstrukciós szabály alapján kapjuk a következő számokat:

és

Az utolsó szám nem jólformált a szabály miatt. Tehát az eddigi számok így rendezhetők:

Itt azt jelenti, hogy nem teljesül . Ezeket az új számokat így jelöljük: és és ekvivalenciaosztályaikat és . Mivel az ekvivalenciaosztályok eddig csak egy elemet tartalmaznak, a rendezés írható, mint

.

Még egyszer alkalmazva a konstrukciót az eddigi számokra a nem jólformáltak mellett a következő jólformáltakat kapjuk:

A következő megfigyeléseket tehetjük:

  1. Négy új ekvivalenciaosztályunk van, , , és
  2. Mindegyik osztály egynél több elemet tartalmaz
  3. A szürreális szám értéke csak a legnagyobb bal és a legkisebb jobb elemtől függ.

Az első megfigyelés azt a kérdést veti fel, hogy hogyan értelmezzük az új osztályokat. Mivel kisebb, mint a , azért ez tekinthető a számnak; ennek ekvivalenciaosztálya . Hasonlóan, az számot -nek nevezzük; a és a között van, ezért azonosítjuk a számmal, és hasonlóan lesz az . Tehát az új ekvivalenciaosztályokat , , és jelöli. A szorzás és az összeadás bevezetése után ezt majd még jobban fogjuk látni.

A második megfigyelés ahhoz a kérdéshez vezet, hogy továbbra is azonosíthatjuk-e a szürreális számokat ekvivalenciaosztályukkal. A válasz igenlő, mivel:

Ha és , akkor .

Itt az elemeinek ekvivalenciaosztályaiból alkotott halmaz. Így a fentieket írhatjuk úgy is, mint:

vagy rövidebben:

.

A harmadik megfigyelés szerint tetszőleges szürreális szám általánosítható véges jobb és bal halmazával. Így az szürreális szám megegyezik a szürreális számmal. Az elemeket megadó halmazok végtelenek is lehetnek, ezért ebben az esetben nem biztos, hogy van legnagyobb vagy legkisebb elem.

Műveletek[szerkesztés]

A szürreális számokon végzett műveleteket így definiálják:

Összeadás
Ellentett
Szorzás
.

ahol a az operátorok halmazelméleti kiterjesztései, például

,

és

Ezek a műveletek jóldefiniáltak abban az értelemben, hogy nem vezetnek ki a jóldefiniált szürreális számok halmazából. Megállapítható, hogy a fenti jelölések megfelelnek várakozásainknak, ugyanis

, , és .

(Ügyeljünk a különbségre: az egyenlőség, és az ekivalencia!)

A műveletek átvihetők az ekvivalenciaosztályokra, ugyanis

és miatt és és .

jóldefinált műveletek az ekvivalenciaosztályokkal. Végül belátható, hogy az ekvivalenciaosztályokon végezhető műveletek bírnak azokkal a tulajdonságokkal, amiket elvárunk az összeadástól, az ellentettképzéstől és a szorzástól.

Az ekvivalenciaosztályok a rendezéssel és a műveletekkel teljesítik a rendezett test tulajdonságait, de mivel nem alkotnak halmazt, ezért ez nem rendezett test.

A következőkben nem különböztetjük meg egymástól az ekvivalenciaosztályokat és a szürreális számokat.

Generálás teljes indukcióval[szerkesztés]

Eddig nem vizsgáltuk részletesen, hogy milyen számok kaphatók meg a konstrukciós szabállyal, és melyek nem. Azokkal a számokkal kezdünk, amelyek véges sok lépésben megkaphatók. Induktívan definiáljuk az halmazokat minden természetes számra:

  • az halmazhoz hozzávesszük azokat a szürreális számokat, amelyek egy lépésben konstruálhatók részhalmazaiból.

Az összes, valamelyik halmazban megtalálható szürreális szám halmazát -nak nevezzük. Az első néhány halmaz a következő:

Ez alapján észrevehetjük a következőket:

  • Egész számok: a maximum mindig eggyel nő, a minimum eggyel csökken.
  • Törtek: minden eddigi szomszédos szám között megjelenik egy új szám.

Eszerint minden diadikus törtet megkapunk, vagyis azokat a törteket, amelyek alakúak, ahol a és b egészek. Más törtek azonban nincsenek -ban.

A végtelenig, és azon is túl[szerkesztés]

Miután már megkaptuk az halmazt, tovább folytathatjuk a generálást. Így kapjuk az , halmazokat, amelyek most mindkét oldalon végtelen számú elemet tartalmaznak. Transzfinit indukcióval minden a rendszámhoz definiálhatunk Sa halmazt.

A szürreális szám születésnapjának nevezzük azt az a rendszámot, amire Sa tartalmazza a szürreális számot, de egyetlen kisebb rendszámú halmazban sincs benne a szürreális szám. PÉldául a 0 születésnapja 0, az 1/2 születésnapja 2.

Megmutatható, hogy a legöregebb szürreális számot határozza meg a és b között. A fent megadott szám egyenlő a számmal, és a legöregebb szám és között a 3.

Már az -ben találhatunk törteket, amelyek nem voltak jelen -ban. Például

.

A definíció korrektségét mutatja, hogy: .

Az tartalmazza az összes valós számot. Ezt az intervallumok skatulyázása mutatja meg, amivel minden egyes valós szám egyértelműen előáll. Az már tartalmazza a alakú számokat. Ezekkel a számokkal mint határpontokkal már minden valós szám skatulyázható. A kisebb végpontokat felvesszük a bal, a nagyobb végpontokat a jobb halmazba, és ezzel már meg is adtuk a valós számot.

De más számokat is tartalmaz, például a következő infinitezinális számot:

.

Könnyű látni, hogy ez a szám pozitív, de minden pozitív törtnél kisebb. A szürreális számok között nem ez az egyedüli infinitezimális szám, hiszen:

,
.

amelyeket az tartalmaz.

Emellett végtelen nagy számok is találhatók már -ben, mint például

.

Ez a szám nagyobb, mint minden eleme, többek között mint minden egész szám. Megfelel az -nak, ami címkéje. Ekvivalensen,

.

Minden rendszám megjelenik a szürreális számok között.

Mivel az összeadás és a szorzás minden szürreális számra definiálva van, az szürreális számmal ugyanúgy számolhatunk, mint a többivel:

és
.

Ez nagyobb tagokra is teljesül:

,
,
,

és még magával az szürreális számmal:

ahol mint fent.

Ahogy nagyobb, mint , az kisebb, mint , mivel

ahol .

Végül megtaláljuk az összefüggést és között, hiszen

.

Ügyelni kell arra, hogy ebben a számkörben másként viselkednek a rendszámok, mint egyébként: rendszámként , míg szürreális számként .

A szürreális számok konstrukciójával annyi szám konstruálható, hogy nincs halmaz, ami befogadná az összest; a szürreális számok valódi osztályt alkotnak, ezért nem alkotnak rendezett testet sem.

Mivel minden szürreális szám megalkotható nála öregebb szürreális számokból, használható a transzfinit rekurzió elve. Ehhez azt kell megmutatni, hogy ha egy tulajdonság teljesül és elemeire, akkor az szürreális számra is teljesül.

Alternatív definíciók[szerkesztés]

Előjelfüggvények[szerkesztés]

Egy alternatív értelmezésben a szürreális számok a rendszámokból a { −1, +1 } halmazba képező függvények. Két ilyen függvény közül x egyszerűbb, mint y, ha x leszűkítése y-nak, vagyis minden olyan helyen, ahol x értelmezve van, ott y is értelmezve van, és értékeik megegyeznek.

A szürreális számok értelmezéséhez az értelmezési tartományon kívüli elemeket -1-nél nagyobbnak és 1-nél kisebbnek tekintjük. Így x < y, ha ezek közül valamelyik teljesül:

  • x egyszerűbb, mint y, és y(dom(x)) = + 1;
  • y egyszerűbb, mint x, és 'x(dom(y)) = − 1;
  • van egy z, hogy z egyszerűbb, mint x és y, és x(dom(z)) = − 1 és y(dom(z)) = + 1.

Ekvivalensen, legyen δ(x,y) = min({ dom(x), dom(y)} ∪ { α : α < dom(x) ∧ α < dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α) }), úgy, hogyx = y akkor és csak akkor, ha δ(x,y) = dom(x) = dom(y). Ekkor az x és y számokra x < y akkor és csak aklkor teljesül, ha:

  • δ(x,y) = dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ y(δ(x,y)) = + 1;
  • δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) = dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1;
  • δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1 ∧ y(δ(x,y)) = + 1.

Az x és y számokra xy akkor és csak akkor, ha x < yx = y, és x > y akkor és csak akkor, ha y < x. Tehát xy akkor és csak akkor, ha yx.

Az így bevezetett < reláció tranzitív, és trikhotómia is teljesül, azaz akárhogy választjuk az x, y számokat, x < y, x = y, vagy x > y valamelyike fennáll. Ez azt jelenti, hogy < teljes rendezés (egy valódi osztályon).

Az L és R halmazokra, ha ∀xLyR (x < y), akkor egyértelműen van egy z szám, hogy

  • xL (x < z) ∧ ∀yR (z < y),
  • Minden w számra, amire ∀xL (x < w) ∧ ∀yR (w < y), w = z vagy z egyszerűbb, mint w.

Továbbá z konstruálható az L és R halmazokból transzfinit indukcióval: z a legegyszerűbb szám L és R között. Jelölje ezt az egyértelmű z számot σ(L,R).

Egy x számra definiáljuk az L(x) bal és az R(x) jobb halmazt a következőképpen:

  • L(x) = { x|α : α < dom(x) ∧ x(α) = + 1 };
  • R(x) = { x|α : α < dom(x) ∧ x(α) = − 1 },

akkor σ(L(x),R(x)) = x.

A konstrukció előnye az, hogy az egyenlőséget eleve ekvivalenciarelációként vezeti be. Hátránya az, hogy Conway konstrukciójával szemben a rendszámokat már meglevőnek és rendezettnek tételezi fel, míg Conway konstrukciójában a szürreális számokkal együtt vannak megkonstruálva.

Vannak hasonló konstrukciók, amelyek elkerülik a szürreális számok rendezését. A függvényeket az eddig definiált szürreális számokon értelmezzük, értékkészletük { −, + }; továbbá feltesszük, hogy ∀g ∈ dom f (∀h ∈ dom g (h ∈ dom f )). Ezzel az egyszerűbb, mint definíciója is egyszerű: x egyszerűbb, mint y, ha x ∈ dom y. A teljes rendezés az összes elemet rendezett párnak tekinti: vagy x = y, vagy a z = xy szürreális szám x vagy y (vagy mindkettő) értelmezési tartományában van. Ekkor teljesül x < y, ha x(z) = − vagy y(z) = + . Az előjelsorozatokká való konvertáláshoz fel kell sorolni az értelmezési tartomány elemeit egyszerűség szerint, és hozzájuk leírni az előjeleket. Ezek közül azok lesznek a rendszámok, melyek értékkészlete { + }.

Összeadás és szorzás[szerkesztés]

Az x és y számok összegét dom(x) és dom(y) halmazok indukciója alapján definiálhatjuk:

x + y = σ(L,R), ahol
  • L = { u + y : uL(x) } ∪{ x + v : vL(y) },
  • R = { u + y : uR(x) } ∪{ x + v : vR(y) }.

A nullelem a 0 = { }, vagyis a nulla az üres függvény. Ha x szám, akkor ellentettje −x, ahol dom(− x) = dom(x), és az értékek ellentettjükre változnak, azaz α < dom(x), (− x)(α) = − 1 ha x(α) = + 1, és (− x)(α) = + 1 ha x(α) = − 1.

Következik, hogy ha x szürreális szám, akkor x pozitív, ha 0 < dom(x), és x(0) = + 1, és x negatív, ha 0 < dom(x) és x(0) = − 1.

Ha x és y szürreális számok, akkor szorzatukat xy jelöli. Ezt induktívan definiáljuk a következőképpen:

dom(x) és dom(y) alapján xy = σ(L,R), ahol
  • L = { uy + xvuv : uL(x), vL(y) } ∪ { uy + xvuv : uR(x), vR(y) },
  • R = { uy + xvuv : uL(x), vR(y) } ∪ { uy + xvuv : uR(x), vL(y) }.

Az egységelem az 1 = { (0,+ 1) } szürreális szám, 1(0) = + 1.

Megfeleltetés Conway konstrukciójával[szerkesztés]

Conway reprezentációjáról az előjelekre ezzel térhetünk át: f({ L | R }) = σ(M,S), ahol M = { f(x) : xL } és S = { f(x) : xR }.

Conway reprezentációjára úgy térhetünk át, hogy g(x) = { L | R }, ahol L = { g(y) : yL(x) } és R = { g(y) : yR(x) }.

Axiomatikus megközelítés[szerkesztés]

Alling a közvetlen konstrukció helyett axiómákkal építette fel a szürreális számokat. Axiómarendszere izomorfizmus erejéig egyértelműen jellemzi a szürreális számokat.[1]

Egy hármas szürreális számrendszer, ha teljesíti a következőket:

  • < teljes rendezése No-nak.
  • értelmezve van egy b születésnapfüggvény No-ról a rendszámokba.
  • Legyenek A és B részosztályai No-nak, hogy minden xA és yB elemre x < y, vagyis 〈 A,BNo Conway-szelete. Ekkor van egy zNo, hogy b(z) minimális, és minden xA és yB-re x < z < y. (Conway egyszerűségi tétele).
  • Továbbá, ha α nagyobb, mint b(x) minden xA, B elemre, akkor b(z)α. Alling megfogalmazásában ez teszi teljessé a szürreális számrendszert.

Conway konstrukciója és az előjelfüggvényes konstrukció megfelel ezeknek az axiómáknak.

Ezekkel az axiómákkal Alling levezette Conway definícióját a ≤ relációra és megalkotta az aritmetikát is.

Hahn-sorok[szerkesztés]

Alling azt is belátta,[2] hogy a szürreális számok struktúrája izomorf a valós együtthatós Hahn-sorozatokkal, amiknek értékei éppen a szürreális számok. Ez kapcsolatot teremt a szürreális számok és a rendezett testek elméletének konvencionálisabb matematikai megközelítése között.

Ez az izomorfizmus a szürreális számokat megfelelteti egy értékkel ellátott testnek, ahol a kiértékelés additív inverze a Conway-normálforma főegyütthatójának kitevőjének, például ν(ω) = -1. Ez a kiértékelésgyűrű a véges szürreális számokból áll. Az előjel megváltoztatása arra vezethető vissza, hogy a Conway-normálforma egy jólrendezett halmaz megfordítása, míg a Hahn-sorokat az értékcsoport jólrendezett részhalmazaival definiálják.

Halmazelméleti fontosság[szerkesztés]

A szürreális számok valódi osztályt alkotnak a Zermelo-Fraenkel halmazelméleti axiómarendszerben. Ez belátható azzal, hogy már maguk a rendszámok is valódi osztályt alkotnak. Mivel a definíció halmazokat említ, ezért a valódi osztályok nem kerülhetnek az egyik oldalra sem. Nem lehet az egyik sem egyenlő az összes szürreális számmal, vagy csak az összes rendszámmal, így elkerülhetők bizonyos paradoxonok.

Kapcsolat a hiperreális számokkal[szerkesztés]

Philip Ehrlich izomorfizmust konstruált a Conway konstrukciójával felépített szürreális számok és a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet maximális hiperreálisai között.[3]

Komplexen túli számok[szerkesztés]

A komplexen túli számok a komplex számokhoz hasonlóan képezhetők a szürreális számokból, vagyis alakúak, ahol a és b szürreális szám.[4][5] A komplexen túli számok algebrailag zárt testszerű struktúrát alkotnak, ami izomorf a racionális számok független transzcendens elemekből alkotott valódi osztályával vett kiterjesztésével generált test algebrai lezártjával. Izomorfia erejéig ez jellemzi a komplexen túli számokat.[6]

Általánosítás[szerkesztés]

A konstrukció a halmaz szó mellett még azt a kikötést is tartalmazza, hogy a bal halmaz elemei kisebbek a jobb halmaz elemeinél. Ha ezt a korlátozást elhagyjuk, akkor a játék fogalmához jutunk. Tehát a játékok konstrukciós szabálya:

Ha és játékok halmaza, akkor játék.

Az összehasonlítás és a műveletek definíciója ugyanaz, mint a szürreális számoknál.

Minden szürreális szám játék, de fordítva ez már nem igaz; vannak nem jól formált játékok is, például a . A játékok osztálya általánosabb, és nem is teljesül rájuk az összes tulajdonság, mint ami a szürreális számokra. Nem alkotnak rendezett testhez hasonló struktúrát, mivel a rendezés csak részben rendezés. A szürreális számok lehetnek pozitívok, negatívok, és nullával egyenlők; egy játék lehet, hogy nem hasonlítható össze a nullával, ekkor fuzzynak nevezzük. Sőt, már maga a testszerűség is sérül, hiszen ha , , játékok, és , akkor nem biztos, hogy .

Kapcsolat a játékelmélettel[szerkesztés]

Eredetileg a go motiválta a szürreális számokat, és számos kapcsolat áll fenn ismert játékok és a szürreális számok között. A játékról a következőket tesszük fel:

  • Determinisztikus, nincs kockadobás vagy kártyapakli.
  • Ketten játszanak, Bal és Jobb.
  • Nincsenek rejtett információk, mint a lefordított kártyalapok.
  • A játékosok felváltva lépnek.
  • Minden játék véges sok lépés után véget ér valamelyik játékos győzelmével.
  • Ha egy játékos nem tud lépni, akkor veszít, és a játék véget ér. A sakkban lehet, hogy ilyenkor döntetlen az eredmény.

Ilyen játék a sakk, a dáma, a go és a malom, de nem ilyen a legtöbb kártyajáték.

A legtöbb játékban kezdetben a két játékos helyzete szimmetrikus. Nem ilyen például a hnefatafl. A játék folyamán az egyes lépések nyomán kialakulnak olyan helyzetek, amelyikben az egyik fél előnyben van, például gyalogelőny, vagy helyzeti előny a sakkban. A parti elemzéséhez minden álláshoz hozzárendelnek egy játékot. Egy helyzet értéke egy játék, ahol L tartalmazza azokat a helyzeteket, amiket Bal lépése hozhat létre, és R azokat a helyzeteket, amelyek Jobb lépése nyomán jöhetnek létre. Ez a módszer érdekes eredményeket ad. Tegyük fel, hogy két, tökéletesen játszó játékos egy olyan helyzetben találja magát, amit egy x játék ír le. Ekkor a következőképpen meg lehet jósolni a győztest:

  • Ha , akkor Bal nyer.
  • Ha , akkor Jobb nyer.
  • Ha , akkor a lépésen levő játékos veszít.
  • Ha x fuzzy, akkor a lépésen levő játékos nyer.

Egyes játékokban a végjátékban a játék több különálló részre esik szét. Ilyen például a go, amiben a semleges terület több kisebb részre szakad, amelyek mindegyike önálló kis gopartiként viselkedik. Hasznos lenne ezeket külön elemezni, és az eredményeket kombinálni, Ez azonban nem könnyű feladat. Lehet, hogy külön-külön ugyanaz a játékos nyerne, de együtt már a másik játékos nyer. Azonban ennek is megvan a módja:

Tétel: Ha egy parti két kisebb, független partira osztható, amiket az x és y játékok adnak meg, akkor az összjáték az x + y játékkal jellemezhető.

Szavakkal: A parti megkapható független részjátékainak összegeként.

Történetük[szerkesztés]

Conway a szürreális számokat csak a játékok után fedezte fel. A játékokra lazább szabályok vonatkoznak; a nem jólformált szürreális számok is játékok. A go végjátékait elemezte, és olyan módszert próbált kidolgozni, amivel kombinálhatók az egyes részjátékok. Így fejlesztette ki a kombinatorikus játékelméletet, amiben a játékokra definiálható az összeadás, az ellentettképzés és az összehasonlítás. Csak később vette észre, hogy a játékok egy bizonyos osztálya érdekes tulajdonságokkal bír, és ellátta őket szorzással, amivel teljesülnek a kívánt tulajdonságok, és amivel megmutatható, hogy a valós számok is közöttük vannak.

Forrás[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Surreale Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Surreal number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

  1. Alling, Norman L.. Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, Mathematics Studies 141. North-Holland (1987). ISBN 0-444-70226-1 
  2. Alling, op. cit., theorem of §6.55 (p. 246)
  3. Philip Ehrlich (2012.). „The absolute arithmetic continuum and the unification of all numbers great and small”. The Bulletin of Symbolic Logic 18 (1), 1–45. o. DOI:10.2178/bsl/1327328438. (Hozzáférés ideje: 2012. január 29.)  
  4. Surreal vectors and the game of Cutblock, James Propp, August 22, 1994.
  5. N. L. Alling, Foundations of analysis over surreal number fields, N. L. Alling, Amsterdam: North-Holland, 1987. ISBN 0-444-70226-1.
  6. Theorem 27, On Numbers and Games, John H. Conway, 2nd ed., Natick, Massachusetts: A K Peters, Ltd., 2000. ISBN 1-56881-127-6.