Valós számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ez a Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazának és az irracionális számok halmazának unióját jelenti. Az irracionális számok definíciója szerint nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz. (Vannak viszont számok, amelyek se racionális se irracionális számok, mert nem valós számok, a nagyságuk nem meghatározható a valós számegyenesen vett rendezéssel a 0-hoz képest, tehát nem 0, nem is pozitív és nem is negatív számok. Például a nem valós komplex számok.) A valós számokat a tizedestörtekkel azonosíthatjuk: a véges valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedestörtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedestörtek az irracionális számoknak felelnek meg.

A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikailag kielégítő definícióra a 19. századig kellett várni.

A valós számok halmazának matematikai jele (a latin realis szóból, ami valósat, valóságosat jelent). Unicode-ja U+211D.

A Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma miatt a valós számok halmaza alkalmas folytonos problémák megoldására. Ugyan a racionális számok halmaza is összefüggő, de nem teljes, azaz vannak racionális számokból álló sorozatok, melyek határértéke irracionális. Folytonos problémák esetén a közelítő megoldások egy valóban létező megoldást közelítenek. Ezt az elvet sokoldalúan alkalmazzák az analízisben, a geometriában és a topológiában. A hosszakat, felszíneket, felületeket, térfogatokat szintén emiatt definiálják valós számokként, és nemcsak a kör meg a gömb miatt. A tapasztalati tudományokban is megmarad ez az elv.

Valós számok bevezetése[szerkesztés]

Valós számok megalkotása[szerkesztés]

A valós számok megalkotása a racionális számokból a 19. századi matematika fontos lépése volt, mivel lehetővé tette az analízis szilárd alapját. Az első pontos kontrukció Karl Weierstraßtól származik. Ez korlátos sorozatokat használ a valós számok definiálásához.[1]

A ma használt konstrukciók:

  • Dedekind-szeletek: Racionális számok felülről korlátos részhalmazainak legkisebb felső korlátaiként definiálja a valós számokat.[2]
  • Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályai: Ez a konstrukció Georg Cantortól származik. Két Cauchy-sorozat ekvivalens, ha megfelelő tagjaik különbsége a nullához tart. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban ekvivalencia, és megállapítható, hogy a racionális számok által indukált összeadás és kivonás jóldefiniált. Ezekkel a műveletekkel a valós számok testet alkotnak. A racionális számok indukálnak egy teljes rendezést is, amivel a valós számok halmaza rendezett test.[3]
  • Racionális intervallumok egymásba skatulyázott sorozatainak ekvivalenciaosztályai.[4]
  • A racionális számok, mint topologikus csoport teljessé tétele abban az értelemben, mint kanonikus uniform struktúra.[5]

Mindezek a módszerek teljessé teszik a racionális számokat, és izomorfia erejéig ugyanahhoz a struktúrához vezetnek, a valós számok testéhez. Mindegyik módszer a racionális és a valós számok más-más tulajdonságaira és kapcsolatára világítanak rá:

  • A Dedekind-szeletek módszeréből azonnal látszik a teljes rendezés, a sűrűség és az, hogy minden felülről korlátos halmaznak van legkisebb felső korlátja.
  • A Cauchy-sorozatok metrikus térként topológiailag teszik teljessé a racionális számokat. Ezzel azonnal látható, hogy a racionális számok sűrűek a valós számok között, és minden Cauchy-sorozatnak van határértéke. Ez a módszer több más matematikai struktúra esetén is alkalmazható.
  • Az intervallumskatulyázás a valós számok kiszámítását követi, és azt mutatja, hogy egy valós szám tetszőlegesen közelíthető racionális számokkal. A tetszőleges pontosságú közelítés bizonyítja egy valós határérték létezését.
  • Az uniform struktúraként való teljessé tétel egy általánosabb módszer, aminek alkalmazásához sem rendezésre, sem távolságfogalomra nincs szükség.

Axiomatikus megközelítés[szerkesztés]

A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris műveletet (+ és *, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:

  1. testet alkot, azaz :
    • Asszociativitás: és
    • Kommutativitás: és
    • A szorzás disztributív az összeadásra nézve:
    • Additív semleges elem, a nullelem létezése:
    • Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése:
    • Additív inverz létezése:
    • Multiplikatív inverz létezése: ha , akkor
  2. R-en teljes rendezés ≤, azaz minden :
    • Reflexivitás: x ≤ x
    • Antiszimmetria: ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = y
    • Tranzitivitás: ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ z
    • Teljesség: x ≤ y vagy y ≤ x
  3. Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
    • Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
    • Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
  4. Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.

Az utolsó tulajdonság fontos, mivel az különbözteti meg például a racionális számok halmazától, mivel az a halmaz, amelynek az elemeinek négyzete kisebb kettőnél, rendelkezik racionális felső korláttal (2 például ilyen), de a legkisebb felső korlátja (a gyök kettő) nem eleme a halmaznak.

A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a ha van felső korlát, akkor szuprémum is van helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb:

  1. Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz található nála nagyobb természetes szám.
  2. Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja.

Ezekkel a tulajdonságokkal kimutatható, hogy bármely két modell ami ezeket kielégíti, izomorf.

Az axiómarendszerek közvetlen következményei[szerkesztés]

  • A két axiómarendszer ekvivalenciája
  • Alulról korlátos halmaznak van infimuma, azaz legnagyobb alsó korlátja
  • Ha egy sorozat monoton nő és felülről korlátos, akkor konvergens. Hasonlóan, egy alulról korlátos monoton csökkenő sorozat is konvergens. A kettőt összetéve kapjuk, hogy ha egy monoton sorozat korlátos, akkor konvergens
  • konvergens sorozat határértéke egyértelmű

További ekvivalens axiómarendszerek[szerkesztés]

A szuprémumaxióma helyett ekvivalensen a következők is választhatók:

  • Az arkhimédészi axióma és az intervallumskatulyázási axióma, amely szerint tetszőleges egymásba skatuyázott korlátos zárt intervallumok metszete nem üres.
  • Az infimumaxióma, ami azt állítja, hogy minden nemüres, alulról korlátos részhalmaznak van legnagyobb alsó korlátja.
  • A Heine-Borel-axióma, mely szerint hogyha egy zárt, korlátos sorozatot akárhány nyílt intervallum fed le, kiválasztható véges sok, melyek szintén fednek.
  • A Bolzano-Weierstraß-axióma, ami azt mondja, hogy minden korlátos végtelen halmaznak van torlódási pontja.
  • A monotonitási axióma, hogy minden korlátos monoton sorozat korlátos.
  • Az összefüggőségi axióma, miszerint a valós számok a szokásos topológiával összefüggő teret alkotnak.

A teljességet a folytonos függvények bevezetésével is le lehet írni:

  • A középérték-axióma: A valós számok egy szakaszán folytonos valós függvény felveszi a két szélső érték közötti összes értéket.
  • A korlátossági axióma: Korlátos zárt intervallumon definiált valós függvény értékkészlete felülről korlátos.
  • A maximumaxióma: Korlátos zárt intervallumon definiált valós függvény felveszi maximumát.

Nevezetes részhalmazok[szerkesztés]

A valós számok gyakran használt részhalmazai:

  • Racionális számok:
  • Egész számok: .
  • Természetes számok: (a 0 nélkül): vagy (a 0 számmal): (úgy is, mint ).
  • Irracionális számok: , azok a valós számok, melyek nem racionálisak.
  • Algebrai számok: A racionális számok és az algebrai irracionális számok.
  • Transzcendens számok: Nem algebrai irracionális számok.
  • Kiszámítható és nem kiszámítható számok.

Racionálisak azok a számok, melyek előállnak két egész szám hányadosaként. Egy szám irracionális, ha valós, és nem írható fel két egész szám hányadosaként. Az irracionális számokat a pitagoreusok fedezték fel. Ilyenek például a nem négyzetszám egészek négyzetgyökei, a nem köbszám egészek köbgyökei, satöbbi. Példák: , vagy .

Az algebrai számok egész együtthatós polinomok gyökei; vagyis van egy egész együtthatós polinom, melybe behelyettesítve a számot a polinom értéke nulla. Igazából gyakrabban tekintenek az algebrai számokra a komplex számok részhalmazaként, mivel ezeknek a polinomoknak komplex gyökeik is vannak. Algebraiak a gyökkifejezések, például az -edik gyökök és véges összegeik, de nemcsak ezek, hiszen a negyediknél magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel.

A transzcendens számok az algebrai számok komplementer halmaza. Minden transzcendens szám irracionális. A legismertebb transzcendens számok a és az . Mindezek a számok kiszámíthatóak, szemben a nem kiszámítható számokkal, mint egy Specker-sorozat határértéke.

További gyakran használt jelölések: Ha , akkor

az összes valós szám, kivéve a,

Speciálisan, ha , akkor a pozitív valós számok, a nemnegatív valós számok. Ezekben az esetekben használják még a és a jelöléseket; azonban egyes szerzőknél a nemnegatív valós számoksat jelenti.

Számosság[szerkesztés]

A valós számok számosságát kontinuumnak nevezik, és -vel jelölik. Ez nagyobb, mint a természetes számok számossága, de megegyezik a természetes számok hatványhalmazának számosságával, amit fejez ki. A nem megszámlálhatóság azt jelenti, hogy minden lista szükségképpen hiányos.

Az ismert szűkebb számkörök, a racionális számok, az algebrai számok, a kiszámítható számok mind megszámlálhatóak. A racionális számok megszámlálása bizonyítható Cantor módszerével. A nem megszámlálhatóság a kiszámíthatatlan transzcendens számok hozzávételével adódik.

A halmazelméletben Cantor felfedezései után adódott a kérdés: Van számosság a megszámlálható és a kontinuum végtelen között? Vagy a valós számokra megfogalmazva: A valós számok minden nem megszámlálható részhalmaza kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető-e a valós számoknak? Ez a kontinuumhipotézis, mely függetlennek bizonyult a szokásos axiómarendszertől, mint a Zermelo-Fraenkel-axiómáktól a kiválasztási axiómával együtt. Nem bizonyítható, nem cáfolható ebben a rendszerben.

Topológia, kompaktság, kibővített valós számok[szerkesztés]

A valós számok szokásos topológiáját a nyílt intervallumok generálják, azaz az

intervallumok. Rendezési topológiának is nevezik. A nyílt intervallumok gömbőkként is megadhatók,

,

ahol középpont és sugár a abszolútérték által definiált metrikában. Ezzel a generált topológia megegyezik a metrikus tér által generált generált topológiával. Mivel a racionális számok sűrű, de megszámlálható részhalmazt alkotnak, azért néha ezeket a számokat a racionális számokra korlátozzák.

A racionális számokkal szemben a valós számok lokálisan kompakt teret alkotnak. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges valós számnak van nyílt környezete, melynek lezártja kompakt. A Heine–Borel-tétel szerint bármely nyílt halmaz alkalmas, melyre , hiszen kompakt.

A valós számok halmaza lokálisan kompakt, de nem kompakt. A kiterjesztett valós számok halmaza ennek kompaktifikálása, ahol környezetei a

alakú halmazok, és
továbbá környezetei
alakúak, ahol .

Ez a topológia eleget tesz a megszámlálhatósági axiómáknak. homeomorf a [0,1] zárt intervallummal, például egy homeomorfia. Affin-lineáris függvényekkel a zárt intervallumok homeomorfak egymással. Minden monoton sorozatnak van határértéke; például az

valódi határérték.

Az rendezésének kiterjesztése: , így a kiterjesztett valós szűámok halmaza teljesen rendezett. A testaxiómák nem vihetők át, hiszen az egyenlet nem oldható meg egyértelműen.

Kapcsolódó témák[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Georg Cantor. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. (1883), § 9, zitiert nach Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 245 ff.
  2. Edmund Landau: Grundlagen der Analysis. Chelsea Publishing New York 1948.
  3. Georg Cantor: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. (1883), § 9, zitiert nach Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. 1. Auflage. suhrkamp taschenbuch wissenschaft, 1995, ISBN 3-518-27714-6, S. 248.
  4. Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage. Springer Verlag, 1964, ISBN 3-540-03138-3; § 3 Die irrationalen Zahlen.
  5. Nicolas Bourbaki. Topologie Générale (2007) 

Források[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Reelle Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.