Valós számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazát, valamint az irracionális számok halmazát. Az irracionális számok definíciója szerint nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz. (Vannak viszont számok, amelyek se racionális se irracionális számok, mert nem valós számok, a nagyságuk nem meghatározható a valós számegyenesen vett rendezéssel a 0-hoz képest, tehát nem 0, nem is pozitív és nem is negatív számok.) A valós számokat a tizedestörtekkel azonosíthatjuk: a véges valamint a végtelen szakaszosan ismétlődő tizedestörtek a racionális számoknak, míg a végtelen, szakaszosan nem ismétlődő tizedestörtek az irracionális számoknak felelnek meg.

A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikailag kielégítő definícióra a 19. századig kellett várni.

A valós számok halmazának matematikai jele \mathbb{R} (a latin realis szóból, ami valósat, valóságosat jelent).

Valós számok bevezetése[szerkesztés]

Valós számok megalkotása[szerkesztés]

Axiomatikus megközelítés[szerkesztés]

A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris műveletet (+ és *, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:

  1. (\mathbb{R}, +, \cdot) testet alkot, azaz \forall x, y, z \in \mathbb{R}:
    • Asszociativitás: x + (y + z) = (x + y) + z és x\cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z
    • Kommutativitás: x + y = y + x és x\cdot y = y\cdot x
    • A szorzás disztributív az összeadásra nézve: x\cdot(y + z) = (x\cdot y) + (x\cdot z)
    • Additív semleges elem, a nullelem létezése: x + 0 = x
    • Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése: x\cdot 1 = x
    • Additív inverz létezése: x + (-x) = 0
    • Multiplikatív inverz létezése: ha x \neq 0, akkor x\cdot x^{-1} = 1
    •  0 \neq 1
  2. R-en teljes rendezés ≤, azaz minden \forall x, y, z \in \mathbb{R}:
    • Reflexivitás: x ≤ x
    • Antiszimmetria: ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = y
    • Tranzitivitás: ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ z
    • Teljesség: x ≤ y vagy y ≤ x
  3. Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
    • Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
    • Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
  4. Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.

Az utolsó tulajdonság fontos, mivel az különbözteti meg például a racionális számok halmazától, mivel az a halmaz, amelynek az elemeinek négyzete kisebb kettőnél, rendelkezik racionális felső korláttal (2 például ilyen), de a legkisebb felső korlátja (a gyök kettő) nem eleme a halmaznak.

A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a ha van felső korlát, akkor szuprémum is van helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb:

  1. Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz található nála nagyobb természetes szám.
  2. Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja.

Ezekkel a tulajdonságokkal kimutatható, hogy bármely két modell ami ezeket kielégíti, izomorf.

Az axiómarendszerek közvetlen következményei[szerkesztés]

  • A két axiómarendszer ekvivalenciája
  • Alulról korlátos halmaznak van infimuma, azaz legnagyobb alsó korlátja
  • Ha egy sorozat monoton nő és felülről korlátos, akkor konvergens. Hasonlóan, egy alulról korlátos monoton csökkenő sorozat is konvergens. A kettőt összetéve kapjuk, hogy ha egy monoton sorozat korlátos, akkor konvergens
  • konvergens sorozat határértéke egyértelmű

Források[szerkesztés]