Négyzetgyök 2

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az egységnyi oldalú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának hossza négyzetgyök 2

A négyzetgyök kettő, más néven Püthagorasz-állandó, ami felírva:

vagy törtkitevős hatványként

egy pozitív, valós szám, melyet önmagával szorozva 2-t kapunk. Az első 65 tizedesjegye a következő (A002193 sorozat az OEIS-ben):

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

A √2 valószínűleg az elsőként megismert irracionális szám. A geometriai jelentősége az, hogy ez a hossza az egységnyi oldalú négyzet átlójának, illetve egy egységnyi oldalú kocka lapátlójának, ami levezethető a Pitagorasz-tételből.

Irracionális számok
Bináris 1,0110101000001001111…
Decimális 1,4142135623730950488…
Hexadecimális 1,6A09E667F3BCC908B2F…
Lánctörtes alakban

Az ezüstmetszés arányszáma

Történet[szerkesztés]

Az YBC 7289-es babiloni agyagtábla jegyzetekkel

A Yale Egyetem babiloni gyűjteményében található 7289-es számú agyagtábla (i. e. 1800-1600-ból) már közelítő értéket ad a -re a babiloniak által használt hatvanas számrendszerben, hat tizedesjegy pontossággal:

Ennek a számnak egy másik korai közelítését az ősi indiai matematikai szövegek adják, a következőképp: Növeljük az oldal hosszát a harmadával, azután a harmadának a negyedével, majd csökkentsük a negyedének a harmincnegyedével. Tehát:

Az irracionális számok felfedezését általában Püthagorasz egyik tanítványának, a metapontumi Hippaszosznak tulajdonítják, aki elkészítette az első (valószínűleg geometriai) bizonyítást a gyök 2 irracionalitására. Egy legenda szerint Pitagorasz hitt a számok teljességében, és nem tudta elfogadni az irracionális számok létezését. Nem tudta megcáfolni a létezésüket logikai úton, de a hite miatt nem tudta elfogadni irracionális számok létezését, ezért fulladásos halálra ítélte Hippaszoszt. Más legendák szerint Hippaszoszt megfojtotta Pitagorasz néhány tanítványa, vagy csupán kizárták a körükből.

Kiszámítási algoritmus[szerkesztés]

Számos módszer van a √2 közelítő értékének számolására, melyek a kifejezéseket egész számok arányaként, vagy tizedestörtként közelítik meg. Erre a legegyszerűbb algoritmus, amely sok számítógép és számológép alapja, a babiloni módszer a négyzetgyök számolására. Ez a következőképp működik:

Először vegyünk egy tetszőleges becslést. A becslés pontossága nem számít, csak azt befolyásolja, hányszor kell megismételni a lépéseket, hogy elérjünk egy bizonyos pontosságú közelítést. Ezután használhatjuk a becslésünket a következő rekurzív számításban:

Minél több ismétlés van az algoritmusban (egyre több számolást kell elvégezni, egyre nagyobb n-el), annál jobb becslést kapunk a √2 közelítő értékére.

1997-ben Yasumasa Kanada csapatával 137 438 953 444 tizedesjegyig számolta ki a √2 közelítő értékét.

2006 februárjában a rekordot túlszárnyalták egy otthoni számítógépen. Shigeru Kondo az első 200 000 000 000 tizedesjegyét számolta ki a √2-nek, alig 13 nap és 14 óra kellett hozzá egy 3,6 GHz-es PC-vel, 16 GB memóriával.

Irracionalitásának bizonyítása[szerkesztés]

Indirekt bizonyítás[szerkesztés]

Az indirekt bizonyítás azt jelenti, hogy feltesszük, hogy az állításunk tagadása igaz, majd átalakításokkal nyilvánvaló ellentmondást kapunk, tehát a tagadás hamis, ezért az eredeti állítás igaz.

  1. Tegyük fel, hogy a egy racionális szám, tehát léteznek és egészek, hogy .
  2. Akkor lehet felírni -t tovább nem egyszerűsíthető törtként, ha és relatív prímek, valamint .
  3. Ebből következik, hogy és a² = 2 b². ((a / b)n = an / bn)
  4. Tehát, a² páros, mert egyenlő 2 b²-tel.
  5. Ebből következik, hogy a is páros, mert csak a páros számoknak páros a négyzetük.
  6. Mivel a páros, létezik k egész szám, ami teljesíti, hogy a = 2k.
  7. Behelyettesítve 2k-t a (6). lépésből a a (3). lépés második egyenlőségébe: 2b² = (2k)², ami megegyezik 2b² = 4k², ami megegyezik b² = 2k².
  8. Mivel 2k² osztható 2-vel, és 2k² = b², ezért b² szintén osztható 2-vel, tehát b is.
  9. Az (5). és (8). lépésből tudjuk, hogy a és b is párosak, ami ellentmond annak, hogy relatív prímek, ahogy azt megállapítottuk a (2). lépésben.
Q. E. D.

Mivel van ellentmondás, az (1)-es feltétel, hogy a racionális szám, hamis. Az állítás be van bizonyítva: irracionális.

Ennek a bizonyításnak az általánosításával bármelyik természetes szám négyzetgyökéről el tudjuk dönteni, hogy racionális vagy irracionális.

Bizonyítás végtelen leszállással[szerkesztés]

Lásd itt: Végtelen leszállás#Példák

Bizonyítás prímtényezős felbontással[szerkesztés]

Ez a bizonyítás hasonló az előzőhöz, de a számelmélet alaptételét alkalmazza:

  1. Tegyük fel, hogy a egy racionális szám, tehát léteznek és egészek, hogy .
  2. Ebből következik, hogy és .
  3. A számelmélet alaptételéből következik, hogy a-nak és b-nek egyértelműen létezik prímtényezős felbontása, amit fel lehet írni a = 2xk és b = 2ym alakban, ahol x és y nemnegatív egészek, m és k pedig páratlan nemnegatív egészek.
  4. Tehát a² = 22xk² és b² = 22ym².
  5. Ha ezt behelyettesítjük a (3). lépésbe, akkor azt kapjuk, hogy 22xk² = 2·22ym² = 22y+1m².
  6. Tehát azt állítjuk, hogy egy prímtényezős felbontás, amelyben 2 páros kitevőjű hatványa van (a kitevő 2x) megegyezik egy olyannal, amelyben a 2 páratlan kitevőjű hatványa szerepel (a kitevő 2y+1). Ez ellentmond az egyértelmű prímfelbontásnak, tehát az indirekt feltevés hamis volt.

Egy másik bizonyítás[szerkesztés]

A következő reductio ad absurdum egy kevésbé jól ismert bizonyítása a irracionalitásának. Azt a további információt használja, hogy .

  1. Tegyük fel, hogy racionális szám, tehát léteznek m és n egészek, ahol n ≠ 0, hogy .
  2. Tehát √2-t fel lehet írni tovább nem egyszerűsíthető törtként, ahol m és n pozitív egészek, mert .
  3. , ebből következik, hogy m > n, tehát m > 2nm.
  4. Tehát az törtet, amiről a (2). lépésből tudjuk, hogy nem lehet tovább egyszerűsíteni, a (3). lépésben egyszerűsítjük. Ez ellentmondás, tehát az állítás, hogy a racionális, hamis.

Geometriai bizonyítás[szerkesztés]

(A kép adatai)

Ez szintén egy példa a végtelen leszállással történő bizonyításra. Alkalmazzuk benne a klasszikus szerkesztést, a tétel bizonyításának ez a módja egyszerűbb, mint amit az ókori görögök alkalmaztak.

Legyen ABC egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, az átfogó hossza m, a befogóké n. A Pitagorasz-tétel miatt m/n = √2. Tegyük fel, hogy m és n egész számok. Legyen az m:n arány egyszerűsítve.

Rajzoljunk A középpontú m és n sugarú köríveket. A kapott metszéspontok a szárakon D és E. Ebből következik, hogy AB = AD, AC = AE és ∠BAC and ∠DAE szögek egybevágóak. Tehát az ABC és ADE háromszögek egybevágóak, mert megegyezik 2 oldaluk és az általuk közbezárt szög.

Mivel ∠EBF szög derékszög, és ∠BEF pedig a derékszög fele (45°) BEF szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ezért BE = m ‒ n, tehát BF = m ‒ n. A szimmetria miatt DF = m ‒ n, és FDC szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ebből következik: FC = n ‒ (m ‒ n) = 2n ‒ m.

Tehát van egy kisebb egyenlő szárú derékszögű háromszögünk, átfogójának hossza 2n ‒ m, a befogóké pedig m ‒ n. Ezek az értékek szintén egészek, arányuk megegyezik m és n arányával, ez ellentmond annak az állításnak, hogy m:n egyszerűsítve van. m és n tehát nem lehetnek egészek, ezért √2 irracionális.

A négyzetgyök 2 tulajdonságai[szerkesztés]

A gyök 2 fele, ami közelítve 0.70710 67811 86548, egy közös mennyisége a geometriának és a trigonometriának, mert ha az egységvektor a síkon 45°-os szöget zár be a tengelyekkel, akkor a koordinátái:

És ez kielégíti, hogy

Egy érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek a következő:

Ez az ezüstmetszés egyik tulajdonságának a következménye.

Másik érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek:

A négyzetgyök 2 kifejezhető az i képzetes egység segítségével, a négyzetgyökvonást, és a számtani műveleteket használva:

és

Előállítás sorokkal és produktummal[szerkesztés]

A azonosság, és a szinusz és koszinusz végtelen szorzatként való előállításából következnek az alábbi egyenletek:

és

vagy ezzel ekvivalens,

A szám kifejezhető trigonometrikus függvények Taylor-sor alakban történő felírásával. Például cos(π/4) sora adja a következőt:

A Taylor-sora x = 1 esetben a következő:

A sorok konvergenciája gyorsítható Euler-transzformációval, előállítva

Előállítása lánctörttel[szerkesztés]

A négyzetgyök 2 a következő lánctörtként áll elő:

A papír mérete[szerkesztés]

Gyök 2 kerekített értéke a papír oldalainak aránya az ISO 216-os szabványban. Ez az arány biztosítja, hogy ha félbevágunk egy lapot a rövidebb oldallal párhuzamosan, akkor a kapott papírok oldalainak aránya megegyezik az eredeti papír oldalainak arányával. Valóban, ha egy téglalap oldalai és , akkor a felének az oldalai és , az utóbbi megegyezik -vel. Ennek következtében, a hosszú oldal () és a rövid oldal () aránya ismét .

Lásd még[szerkesztés]

Külső hivatkozások[szerkesztés]

Források[szerkesztés]