Négyzetgyök 2

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az egységnyi oldalú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának hossza négyzetgyök 2

A négyzetgyök kettő, más néven Püthagorasz-állandó, ami felírva:

\sqrt{2}

vagy törtkitevős hatványként

2^{\frac{1}{2}}

egy pozitív, valós szám, melyet önmagával szorozva 2-t kapunk. Az első 65 tizedesjegye a következő (A002193 sorozat az OEIS-ben):

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

A négyzetgyök kettő valószínűleg az elsőként megismert irracionális szám. A geometriai jelentősége az, hogy ez a hossza az egységnyi oldalú négyzet átlójának, ami levezethető a Pitagorasz-tételből.

Irracionális számok
\sqrt{2}
Bináris 1,0110101000001001111…
Decimális 1,4142135623730950488…
Hexadecimális 1,6A09E667F3BCC908B2F…
Lánctörtes alakban 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}

Az ezüstmetszés arányszáma

1+\sqrt{2}.\,

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az YBC 7289-es babiloni agyagtábla jegyzetekkel

A Yale Egyetem babiloni gyűjteményében található 7289-es számú agyagtábla (i. e. 1800-1600-ból) már közelítő értéket ad a \sqrt{2}-re a babiloniak által használt hatvanas számrendszerben, hat tizedesjegy pontossággal:

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1,41421\overline{296}.

Ennek a számnak egy másik korai közelítését az ősi indiai matematikai szövegek adják, a következőképp: Növeljük az oldal hosszát a harmadával, azután a harmadának a negyedével, majd csökkentsük a negyedének a harmincnegyedével. Tehát:

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1,414215686.

Az irracionális számok felfedezését általában Püthagorasz egyik tanítványának, a metapontumi Hippaszosznak tulajdonítják, aki elkészítette az első (valószínűleg geometriai) bizonyítást a gyök 2 irracionalitására. Egy legenda szerint Pitagorasz hitt a számok teljességében, és nem tudta elfogadni az irracionális számok létezését. Nem tudta megcáfolni a létezésüket logikai úton, de a hite miatt nem tudta elfogadni irracionális számok létezését, ezért fulladásos halálra ítélte Hippaszoszt. Más legendák szerint Hippaszoszt megfojtotta Pitagorasz néhány tanítványa, vagy csupán kizárták a körükből.

Kiszámítási algoritmus[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számos módszer van a √2 közelítő értékének számolására, melyek a kifejezéseket egész számok arányaként, vagy tizedestörtként közelítik meg. Erre a legegyszerűbb algoritmus, amely sok számítógép és számológép alapja, a babiloni módszer a négyzetgyök számolására. Ez a következőképp működik:

Először vegyünk egy tetszőleges becslést. A becslés pontossága nem számít, csak azt befolyásolja, hányszor kell megismételni a lépéseket, hogy elérjünk egy bizonyos pontosságú közelítést. Ezután használhatjuk a becslésünket a következő rekurzív számításban:

F_{n+1} = \frac{F_n + \frac{2}{F_n}}{2}.

Minél több ismétlés van az algoritmusban (egyre több számolást kell elvégezni, egyre nagyobb n-el), annál jobb becslést kapunk a √2 közelítő értékére.

1997-ben Yasumasa Kanada csapatával 137 438 953 444 tizedesjegyig számolta ki a √2 közelítő érékét.

2006 februárjában a rekordot túlszárnyalták egy otthoni számítógépen. Shigeru Kondo az első 200 000 000 000 tizedesjegyét számolta ki a √2-nek, alig 13 nap és 14 óra kellett hozzá egy 3,6 GHz-es PC-vel, 16 GB memóriával. rás

Irracionalitásának bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Indirekt bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az indirekt bizonyítás azt jelenti, hogy feltesszük, hogy az állításunk tagadása igaz, majd átalakításokkal nyilvánvaló ellentmondást kapunk, tehát a tagadás hamis, ezért az eredeti állítás igaz.

  1. Tegyük fel, hogy a \sqrt{2} egy racionális szám, tehát léteznek a és b egészek, hogy \frac{a}{b} = \sqrt{2}.
  2. Akkor lehet felírni \sqrt{2}-t tovább nem egyszerűsíthető törtként, ha a és b relatív prímek, valamint \left( \frac{a}{b} \right)^2 = 2.
  3. Ebből következik, hogy \frac{a^2}{b^2} = 2 és a² = 2 b². ((a / b)n = an / bn)
  4. Tehát, a² páros, mert egyenlő 2 b²-tel.
  5. Ebből következik, hogy a is páros, mert csak a páros számoknak páros a négyzetük.
  6. Mivel a páros, létezik k egész szám, ami teljesíti, hogy a = 2k.
  7. Behelyettesítve 2k-t a (6). lépésből a a (3). lépés második egyenlőségébe: 2b² = (2k)², ami megegyezik 2b² = 4k², ami megegyezik b² = 2k².
  8. Mivel 2k² osztható 2-vel, és 2k² = b², ezért b² szintén osztható 2-vel, tehát b is.
  9. Az (5). és (8). lépésből tudjuk, hogy a és b is párosak, ami ellentmond annak, hogy relatív prímek, ahogy azt megállapítottuk a (2). lépésben.
Q. E. D.

Mivel van ellentmondás, az (1)-es feltétel, hogy a \sqrt{2} racionális szám, hamis. Az állítás be van bizonyítva: \sqrt{2} irracionális.

Ennek a bizonyításnak az általánosításával bármelyik természetes számok négyzetgyökéről el tudjuk dönteni, hogy racionális, vagy irracionális.

Bizonyítás végtelen leszállással[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd itt: Végtelen leszállás#Példák

Bizonyítás prímtényezős felbontással[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a bizonyítás hasonló az előzőhöz, de a számelmélet alaptételét alkalmazza:

  1. Tegyük fel, hogy a \sqrt{2} egy racionális szám, tehát léteznek a és b egészek, hogy \frac{a}{b}=\sqrt{2}.
  2. Ebből következik, hogy \frac{a^2}{b^2}=2 és a^2 = 2 b^2.
  3. A számelmélet alaptételéből következik, hogy a-nak és b-nek egyértelműen létezik prímtényezős felbontása, amit fel lehet írni a = 2xk és b = 2ym alakban, ahol x és y nemnegatív egészek, m és k pedig páratlan nemnegatív egészek.
  4. Tehát a² = 22xk² és b² = 22ym².
  5. Ha ezt behelyettesítjük a (3). lépésbe, akkor azt kapjuk, hogy 22xk² = 2·22ym² = 22y+1m².
  6. Tehát azt állítjuk, hogy egy prímtényezős felbontás, amelyben 2 páros kitevőjű hatványa van (a kitevő 2x) megegyezik egy olyannal, amelyben a 2 páratlan kitevőjű hatványa szerepel (a kitevő 2y+1). Ez ellentmond az egyértelmű prímfelbontásnak, tehát az indirekt feltevés hamis volt.

Egy másik bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következő reductio ad absurdum egy kevésbé jól ismert bizonyítása a \sqrt{2} irracionalitásának. Azt a további információt használja, hogy \sqrt{2} > 1.

  1. Tegyük fel, hogy \sqrt{2} racionális szám, tehát léteznek m és n egészek, ahol n ≠ 0, hogy \frac{m}{n} = \sqrt{2}.
  2. Tehát √2-t fel lehet írni \frac{m}{n} tovább nem egyszerűsíthető törtként, ahol m és n pozitív egészek, mert \frac{m}{n} = \sqrt{2}.
  3. \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}\cdot n(\sqrt{2}-1)}{n(\sqrt{2}-1)} = \frac{2n-\sqrt{2}n}{\sqrt{2}n-n} = \frac{2n-m}{m-n},\text{ mivel }\sqrt{2}\,n\,=\,m.
  4. \sqrt{2} > 1, ebből következik, hogy m > n, tehát m > 2nm.
  5. Tehát az \frac{m}{n} törtet, amiről a (2). lépésből tudjuk, hogy nem lehet tovább egyszerűsíteni, a (3). lépésben egyszerűsítjük. Ez ellentmondás, tehát az állítás, hogy a \sqrt{2} racionális, hamis.

Geometriai bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(A kép adatai)

Ez szintén egy példa a végtelen leszállással történő bizonyításra. Alkalmazzuk benne a klasszikus szerkesztést, a tétel bizonyításának ez a módja egyszerűbb, mint amit az ókori görögök alkalmaztak.

Legyen ABC egy egyenlő szárú derékszögű háromszög, az átfogó hossza m, a befogóké n. A Pitagorasz-tétel miatt m/n = √2. Tegyük fel, hogy m és n egész számok. Legyen az m:n arány egyszerűsítve.

Rajzoljunk A középpontú m és n sugarú köríveket. A kapott metszéspontok a szárakon D és E. Ebből következik, hogy AB = AD, AC = AE és ∠BAC and ∠DAE szögek egybevágóak. Tehát az ABC és ADE háromszögek egybevágóak, mert megegyezik 2 oldaluk és az általuk közbezárt szög.

Mivel ∠EBF szög derékszög, és ∠BEF pedig a derékszög fele (45°) BEF szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ezért BE = m ‒ n, tehát BF = m ‒ n. A szimmetria miatt DF = m ‒ n, és FDC szintén egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ebből következik: FC = n ‒ (m ‒ n) = 2n ‒ m.

Tehát van egy kisebb egyenlő szárú derékszögű háromszögünk, átfogójának hossza 2n ‒ m, a befogóké pedig m ‒ n. Ezek az értékek szintén egészek, arányuk megegyezik m és n arányával, ez ellentmond annak az állításnak, hogy m:n egyszerűsítve van. m és n tehát nem lehetnek egészek, ezért √2 irracionális.

A négyzetgyök 2 tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyök 2 fele, ami közelítve 0.70710 67811 86548, egy közös mennyisége a geometriának és a trigonometriának, mert ha az egységvektor a síkon 45°-os szöget zár be a tengelyekkel, akkor a koordinátái:

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).

És ez kielégíti, hogy

\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).

Egy érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek a következő:

 \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1.

Ez az ezüstmetszés egyik tulajdonságának a következménye.

Másik érdekes tulajdonsága a négyzetgyök kettőnek:

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}\cdots}} = 2

A négyzetgyök 2 kifejezhető az i képzetes egység segítségével, a négyzetgyökvonást, és a számtani műveleteket használva:

\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i} és \frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.

Előállítás sorokkal és produktummal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} azonosság, és a szinusz és koszinusz végtelen szorzatként való előállításából következnek az alábbi egyenletek:

\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty
\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots

és

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots

vagy ezzel ekvivalens,

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

A szám kifejezhető trigonometrikus függvények Taylor-sor alakban történő felírásával. Például cos(π/4) sora adja a következőt:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.

A \sqrt{1+x} Taylor-sora x = 1 esetben a következő:

\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.

A sorok konvergenciája gyorsítható Euler-transzformációval, előállítva

\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.

Előállítása lánctörttel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A négyzetgyök 2 a következő lánctörtként áll elő:

 \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}.

A papír mérete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gyök 2 kerekített értéke a papír oldalainak aránya az ISO 216-os szabványban. Ez az arány biztosítja, hogy ha félbevágunk egy lapot a rövidebb oldallal párhuzamosan, akkor a kapott papírok oldalainak aránya megegyezik az eredeti papír oldalainak arányával. Valóban, ha egy téglalap oldalai x és x \sqrt{2}, akkor a felének az oldalai x és x \sqrt{2}/2, az utóbbi megegyezik x/\sqrt{2}-vel. Ennek következtében, a hosszú oldal (x) és a rövid oldal (x/\sqrt{2}) aránya ismét \sqrt{2}.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]