Négyzetgyök

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). Az a szám négyzetgyökének jele:

A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen -nak és -nak ugyanúgy a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.

A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük.

Definíció a valós számok halmazán[szerkesztés]

Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

A valós négyzetgyökfüggvény[szerkesztés]

A négyzetgyökfüggvény grafikonja

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük:

A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja

.

Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.

Értelmezési tartományának minden zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye

.

Tulajdonságai[szerkesztés]

  • Szigorúan monoton növekvő, azaz:
  • Zérushelye: x=0
  • Szélsőérték:
    • Minimuma: x=0, f(x)=0
    • Maximuma nincs
  • Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

Számolás négyzetgyökökkel[szerkesztés]

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

  • , ha
  • , ha
  • , mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
  • tetszőleges a valós számra.
  • ellenben csak akkor teljesül, ha a nem negatív

A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák[szerkesztés]

  • I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

  • II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

Komplex négyzetgyökfüggvény[szerkesztés]

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív. Leszűkítéssel azonban injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.

A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető.

Számítása[szerkesztés]

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Valós számok[szerkesztés]

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

  • Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

  • Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:

12 < 2 és 22 > 2 miatt az első jegy 1. 1,42 = 1,96 < 2 és 1,52 = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Komplex számok[szerkesztés]

Ha a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke

ahol sgn(y) a szignumfüggvény.

Az egyetlen mellékág a .

A polárkoordinátákban adott négyzetgyökei így számíthatók:

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.

Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.

Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.

Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben[szerkesztés]

Ha egy n természetes számra akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

Prímszám modulus[szerkesztés]

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.

Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.

A kérdést az

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:

.

Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

  • p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

  • p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:

Választunk egy r számot, hogy:

legyen.

Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:

.

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

Források[szerkesztés]