Thalész-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A Thalész-tétel szerint a γ szög derékszög

A Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi eredetű tétele. Nevét a milétoszi Thalészról kapta.

Tétel (Thalész) Ha vesszük egy O középpontú kör AB átmérőjét, valamint a körvonal egy tetszőleges (A-tól illetve B-től különböző) C pontját, akkor az ABC háromszög C csúcsánál lévő γ szöge derékszög lesz.

Bizonyítás[szerkesztés]

A Thalész-tételnek számtalan bizonyítása van. Ezek közül néhány ízelítőül:

A háromszögek szögösszegtétele alapján[szerkesztés]

Azt fogjuk felhasználni, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.

Ábra a belső szögek összegére vonatkozó tételt felhasználó bizonyításhoz

Legyen \math>O\math> a kör középpontja. Ekkor az és a háromszög egyenlő szárú, azaz

és
.

Az szakasz pont az és részekre osztja -t , így

Az háromszög belső szögeinek összege (ami a szögösszegtétel szerint 180°) épp e négy szög összege, tehát:

;

vagyis:

így:

QED

Eukleidész bizonyítása[szerkesztés]

Azt kell belátnunk, hogy az ábrán a szög hegyesszög vagy derékszög.

Ábra Eukleidész bizonyításához

Hosszabbítsuk meg az szakaszt -n túl egy tetszőleges pontig. Legyen a kör középpontja. Mivel és a kör sugara, ezért az háromszög egyenlő szárú, így

Továbbá, mivel is a kör sugara ezért az háromszög is egyenlő szárú, így

Mivel

ezért az előbbiek miatt

is teljesül. Viszont a külsőszög-tétel miatt az háromszög külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, azaz

vagyis

amiből az következik, hogy fele az egyenesszögnek, tehát -nél derékszög van. QED

Egy elemi geometriai bizonyítás szimmetriatulajdonságokkal[szerkesztés]

Ábra a Thalész-tétel szimmetriákkal történő bizonyításához

Rajzoljuk be az O középpontot és hosszabbítsuk meg a CO szakaszt O-n túl a kör ívéig, amit metsszen a D pontban.

Azt kell belátnunk, hogy a C-nél lévő szög derékszög.

Tudjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha átlói felezik egymást és egyenlő hosszúságúak. De az ADBC négyszög átlói egyenlők (mert mindkettő a kör átmérője) és felezik egymást (az O pontban), így az ADBC négyszög téglalap. Ebből viszont következik, hogy minden szöge, így a C-nél lévő szög is derékszög. QED

Megjegyzés. Természetesen a szimmetriát itt az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés jelenti.

Egy másik bizonyítás szimmetriával[szerkesztés]

Tükrözzük a háromszöget az átfogójára. Ekkor az négyszög deltoid lesz. Az és a csúcsoknál lévő szögek összege 180°, ez a kerületi és középponti szögek tételéből következik. Mivel a négyszög szögeinek összege 360°, ezért a -nél és a -nél lévő szögek összege is 180° kell legyen. Ezek a szögek viszont a tükrözés miatt egyenlőek, tehát derékszögek. QED

A Pitagorasz-tételből és megfordításából[szerkesztés]

Legyen a k kör egy átmérője d, középpontja O. Vegyünk föl a kör ívén egy, az átmérő két végpontjától különböző C pontot és bocsássunk merőlegest C-ből d-re. Legyen a merőleges talppontja T. Az OTC derékszögű háromszög oldalait jelöljük így:

Ábra a Thalész-tétel Pitagorasz-tétellel történő bizonyításához
r = OC (a kör sugara)
m = TC (az ABC háromszög C-ből kiinduló magassága)
x = OT

Továbbá

a = BC és
b = AC

Ekkor az OTC, ATC és CTB derékszögű háromszögekre rendre felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:

x² + m² = r²
(r + x)² + m² = b²
(r – x)² + m² = a²

Azt fogjuk belátni, hogy az ABC háromszög olyan, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével ( a² + b² = d² ). A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ugyanis ekkor ABC derékszögű háromszög (és a derékszög a d-vel szemközt van).

a² + b² = (r – x)² + m² + (r + x)² + m² = r² -2rx + x² + m² + r² + 2rx + x² + m² = 2r² + 2x² + 2m² = 2r² + 2(x² + m²) = 2r² + 2r² = 4r² = (2r)² = d²

Tehát a C-nél lévő szög derékszög. QED

Megjegyzés. Az O = T esetben a tétel triviális módon igaz, hiszen ekkor az AOC és az OBC háromszögek egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Ekkor tehát γ = 45° + 45° = 90°.

Vektorokkal[szerkesztés]

Ismeretes, ha rögzített vektor, akkor azon vektorok, amikre

egy olyan kört határoznak meg, aminek átmérője . A fenti egyenletet felhasználva:

A három vektor ( és ) egy háromszöget határoz meg, aminek két oldala ( és ) merőleges egymásra. Ez az utolsó sorból egyértelműen látszik. Mivel végpontjai pedig a körön vannak, kapjuk a tétel állítását.

Hasonlósággal[szerkesztés]

A derékszögű háromszög AC befogójának felezőmerőlegese az AB átfogót az M pontban metszi. A befogó felezőpontja legyen F. Ekkor az FM szakasz párhuzamos BC-vel a merőlegesség miatt, így , és mivel , a hasonlóság miatt , azaz M az átfogó felezőpontja. Mivel pedig az oldalfelezők egy pontban metszik egymást, ami egyben a köréírható kör középpontja is, kapjuk a tétel állítását.

Szakaszok meredekségével[szerkesztés]

Az alábbi bizonyítás koordinátageometriai eszközöket használ fel. Ehhez fel kell venni egy koordinátarendszert. Mivel ebben semmilyen megkötésünk nincsen, a lehető legegyszerűbb feltételekkel élünk: az x-tengely irányítása legyen a háromszög oldalával egyező, és az origót ezen oldal felezőpontjába helyezzük el. Ekkor és .

Mint látható, ez egy igen szerencsés választás volt, mert így a kör egy tetszőleges pontja (ami természetesen nincs az x-tengelyen) a koordinátákkal adható meg. Az és oldalak meredeksége ekkor aránylag egyszerűen számolható:

Hasonlóan kapjuk:

Számoljuk ki a két meredekség szorzatát!

[1].

Két egyenes meredekségének szorzata akkor és csak akkor -1, ha merőlegesek egymásra. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük. QED

A tétel megfordítása[szerkesztés]

Általánosítások[szerkesztés]

A Thalész-tétel speciális esete a középponti és kerületi szögek tételének, miszerint egy körben bármely középponti szög kétszer akkora, mint az azonos ívhez tartozó kerületi szög. Emiatt a Thalész-tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy:

A félkörívhez tartozó minden kerületi szög derékszög.

A látószög fogalmának felhasználásával az általánosítás újabb formában fogalmazható meg:

  • Tétel – Azon pontok síkbeli helye, melyekből egy szakasz mindig ugyanakkora szögben látszik, egy körív, melynek két végpontját a szakasz köti össze.

Ez magában foglalja a tételt és a megfordítását is.

Megjegyzések[szerkesztés]

  1. Itt kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó azonosságot

Hivatkozások[szerkesztés]

Lásd még[szerkesztés]

Források[szerkesztés]