Thalész-tétel
A Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi eredetű tétele. Nevét a milétoszi Thalészról kapta.
Tétel (Thalész) Ha egy kör átmérőjének A és B végpontját összekötjük a körív A-tól és B-től különböző tetszőleges C pontjával, akkor az ABC háromszög C-nél lévő szöge (γ) derékszög lesz.
Tartalomjegyzék
Bizonyítás[szerkesztés]
A Thalész-tételnek számtalan bizonyítása van. Ezek közül néhány ízelítőül:
A háromszögek szögösszegtétele alapján[szerkesztés]
Azt fogjuk felhasználni, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.
Legyen O a kör középpontja. Ekkor az AOC és a COB háromszög egyenlő szárú, azaz
- α = α' és
- β = β'.
Az OC szakasz pont az α' és β' részekre osztja γ-t , így
- γ = α' + β' = α+β
Az ABC háromszög belső szögeinek összege (ami a szögösszegtétel szerint 180°) épp e négy szög összege, tehát:
- α + β + γ = α + β + (α' + β') = α + β + (α + β) = 180°;
vagyis:
- 2α+2β = 180°
- 2(α+β) = 180°
- α+β = 90°
így:
- γ = α + β = 90° QED
Eukleidész bizonyítása[szerkesztés]
Azt kell belátnunk, hogy az ábrán a γ szög hegyesszög vagy derékszög.
Hosszabbítsuk meg az AC szakaszt C-n túl egy tetszőleges F pontig. Legyen O a kör középpontja. Mivel AO és OC a kör sugara, ezért az AOC háromszög egyenlő szárú, így
- α = α'.
Továbbá, mivel OB is a kör sugara ezért az OBC háromszög is egyenlő szárú, így
- β = β'.
Mivel
- γ = α' + β',
ezért az előbbiek miatt
- γ = α + β
is teljesül. Viszont a külsőszög-tétel miatt az ABC háromszög γ' külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, azaz
- γ' = α + β
vagyis
- γ = γ'
amiből az következik, hogy γ fele az egyenesszögnek, tehát C-nél derékszög van. QED
Egy elemi geometriai bizonyítás szimmetriatulajdonságokkal[szerkesztés]
Rajzoljuk be az O középpontot és hosszabbítsuk meg a CO szakaszt O-n túl a kör ívéig, amit metsszen a D pontban.
Azt kell belátnunk, hogy a C-nél lévő szög derékszög.
Tudjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha átlói felezik egymást és egyenlő hosszúságúak. De az ADBC négyszög átlói egyenlők (mert mindkettő a kör átmérője) és felezik egymást (az O pontban), így az ADBC négyszög téglalap. Ebből viszont következik, hogy minden szöge, így a C-nél lévő szög is derékszög. QED
Megjegyzés. Természetesen a szimmetriát itt az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés jelenti.
Egy másik bizonyítás szimmetriával[szerkesztés]
Tükrözzük a háromszöget az átfogójára. Ekkor az négyszög deltoid lesz. Az és a csúcsoknál lévő szögek összege 180°, ez a kerületi és középponti szögek tételéből következik. Mivel a négyszög szögeinek összege 360°, ezért a -nél és a -nél lévő szögek összege is 180° kell legyen. Ezek a szögek viszont a tükrözés miatt egyenlőek, tehát derékszögek. QED
A Pitagorasz-tételből és megfordításából[szerkesztés]
Legyen a k kör egy átmérője d, középpontja O. Vegyünk föl a kör ívén egy, az átmérő két végpontjától különböző C pontot és bocsássunk merőlegest C-ből d-re. Legyen a merőleges talppontja T. Az OTC derékszögű háromszög oldalait jelöljük így:
- r = OC (a kör sugara)
- m = TC (az ABC háromszög C-ből kiinduló magassága)
- x = OT
Továbbá
- a = BC és
- b = AC
Ekkor az OTC, ATC és CTB derékszögű háromszögekre rendre felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:
- x2 + m2 = r2
- (r + x)2 + m2 = b2
- (r – x)2 + m2 = a2
Azt fogjuk belátni, hogy az ABC háromszög olyan, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével ( a2 + b2 = d2 ). A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ugyanis ekkor ABC derékszögű háromszög (és a derékszög a d-vel szemközt van).
- a2 + b2 = (r – x)2 + m2 + (r + x)2 + m2 = r2 -2rx + x2 + m2 + r2 + 2rx + x2 + m2 = 2r2 + 2x2 + 2m2 = 2r2 + 2(x2 + m2) = 2r2 + 2r2 = 4r2 = (2r)2 = d2
Tehát a C-nél lévő szög derékszög. QED
Megjegyzés. Az O = T esetben a tétel triviális módon igaz, hiszen ekkor az AOC és az OBC háromszögek egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Ekkor tehát γ = 45° + 45° = 90°.
Vektorokkal[szerkesztés]
Ismeretes, ha rögzített vektor, akkor azon vektorok, amikre
egy olyan kört határoznak meg, aminek átmérője . A fenti egyenletet felhasználva:
A három vektor ( és ) egy háromszöget határoz meg, aminek két oldala ( és ) merőleges egymásra. Ez az utolsó sorból egyértelműen látszik. Mivel végpontjai pedig a körön vannak, kapjuk a tétel állítását.
Hasonlósággal[szerkesztés]
A derékszögű háromszög AC befogójának felezőmerőlegese az AB átfogót az M pontban metszi. A befogó felezőpontja legyen F. Ekkor az FM szakasz párhuzamos BC-vel a merőlegesség miatt, így , és mivel , a hasonlóság miatt , azaz M az átfogó felezőpontja. Mivel pedig az oldalfelezők egy pontban metszik egymást, ami egyben a köréírható kör középpontja is, kapjuk a tétel állítását.
A tétel megfordítása[szerkesztés]
Általánosítások[szerkesztés]
A Thalész-tétel speciális esete a középponti és kerületi szögek tételének, miszerint egy körben bármely középponti szög kétszer akkora, mint az azonos ívhez tartozó kerületi szög. Emiatt a Thalész-tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy:
- A félkörívhez tartozó minden kerületi szög derékszög.
A látószög fogalmának felhasználásával az általánosítás újabb formában fogalmazható meg:
- Tétel – Azon pontok síkbeli helye, melyekből egy szakasz mindig ugyanakkora szögben látszik, egy körív, melynek két végpontját a szakasz köti össze.
Ez magában foglalja a tételt és a megfordítását is.
