Kerületi és középponti szögek tétele

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Kerületi és középponti szög

A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek. Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.

Bizonyítása[szerkesztés]

A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.

I. eset[szerkesztés]

A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.

I. eset

Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban , a középponti szög pedig . Az ábrán látható háromszög egyenlő szárú, mert , ezért -nél és -nél lévő szöge egyaránt . Mivel ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz .

II. eset[szerkesztés]

II. eset

A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.

Vegyük fel a egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem ) metszéspontja legyen . A szakasz az kerületi szöget és szögekre, középponti szöget és szögekre osztja.

Vegyük észre, hogy (a -t nem tartalmazó) és ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy , illetve .

Ezeket az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy , vagyis .

III. eset[szerkesztés]

A középponti szög nem esik a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába.

III. eset

Vegyük fel a egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem ) metszéspontja legyen . Legyen , , és .

Mivel (a -t nem tartalmazó) és ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy , illetve , az első egyenletből a másodikat kivonva:

.
IV. eset

IV. eset[szerkesztés]

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög kisebb az egyenesszögnél.

Legyen az ábra szerint szakasz felezőpontja . Ekkor, lévén háromszög egyenlő szárú, szakasz két egyenlő szögre osztja -t (az ábrán ).

Mivel és merőleges szárú szögek, egyenlő nagyságúak, ezért .

V. eset[szerkesztés]

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög éppen egyenesszög.

V. eset

Ebben az esetben a kérdéses ívhez tartozó húr éppen a kör átmérője. Mivel az érintési pontba húzott sugár (és így az ezt tartalmazó átmérő is) merőleges az érintőre, derékszög, ezért nyilvánvalóan .

VI. eset[szerkesztés]

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög nagyobb az egyenesszögnél.

VI. eset

Legyen a kisebb jelölése , amely biztosan kisebb az egyenesszögnél, és nagysága °. Az ehhez a szöghöz tartozó érintő szárú kerületi szög az ábrán -vel jelölt szög, kiegészítő szöge; nagysága °. A IV. esetben belátottak miatt

, vagyis
°°, azaz
.

Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

Lásd még[szerkesztés]