Kerületi és középponti szögek tétele
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Azonos_%C3%ADvhez_tartoz%C3%B3_ker%C3%BCleti_%C3%A9s_k%C3%B6z%C3%A9pponti_sz%C3%B6g.svg/150px-Azonos_%C3%ADvhez_tartoz%C3%B3_ker%C3%BCleti_%C3%A9s_k%C3%B6z%C3%A9pponti_sz%C3%B6g.svg.png)
A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek. Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.
Bizonyítása[szerkesztés]
A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.
I. eset[szerkesztés]
A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Inscribed_1.png/250px-Inscribed_1.png)
Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban , a középponti szög pedig . Az ábrán látható háromszög egyenlő szárú, mert , ezért -nél és -nél lévő szöge egyaránt . Mivel ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz .
II. eset[szerkesztés]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Inscribed_2.png/250px-Inscribed_2.png)
A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.
Vegyük fel a egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem ) metszéspontja legyen . A szakasz az kerületi szöget és szögekre, középponti szöget és szögekre osztja.
Vegyük észre, hogy (a -t nem tartalmazó) és ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy , illetve .
Ezeket az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy , vagyis .
III. eset[szerkesztés]
A középponti szög nem esik a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Inscribed_3.png/250px-Inscribed_3.png)
Vegyük fel a egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem ) metszéspontja legyen . Legyen , , és .
Mivel (a -t nem tartalmazó) és ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy , illetve , az első egyenletből a másodikat kivonva:
- .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Inscribed_4.png/250px-Inscribed_4.png)
IV. eset[szerkesztés]
A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög kisebb az egyenesszögnél.
Legyen az ábra szerint szakasz felezőpontja . Ekkor, lévén háromszög egyenlő szárú, szakasz két egyenlő szögre osztja -t (az ábrán ).
Mivel és merőleges szárú szögek, egyenlő nagyságúak, ezért .
V. eset[szerkesztés]
A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög éppen egyenesszög.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Inscribed_5.png/250px-Inscribed_5.png)
Ebben az esetben a kérdéses ívhez tartozó húr éppen a kör átmérője. Mivel az érintési pontba húzott sugár (és így az ezt tartalmazó átmérő is) merőleges az érintőre, derékszög, ezért nyilvánvalóan .
VI. eset[szerkesztés]
A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög nagyobb az egyenesszögnél.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Inscribed_6.png/250px-Inscribed_6.png)
Legyen a kisebb jelölése , amely biztosan kisebb az egyenesszögnél, és nagysága °. Az ehhez a szöghöz tartozó érintő szárú kerületi szög az ábrán -vel jelölt szög, kiegészítő szöge; nagysága °. A IV. esetben belátottak miatt
- , vagyis
- °°, azaz
- .
Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.