Párhuzamos szelők tétele

A párhuzamos szelők tétele az elemi geometria egyik alapvető tétele. Azt mondja ki, hogy ha adott két egymást metsző egyenes és az egyiken két szakasz, és e szakaszok végpontjain át olyan párhuzamosokat húzunk, amelyek a másik egyenest metszik, akkor a második egyenesen keletkezett szakaszok hosszának aránya egyenlő az első egyenesen a nekik megfelelő szakaszok hosszának az arányával.^[1] Hasznos eszköz például ismeretlen szakaszhosszak kiszámításához. Hagyományosan Thalész ókori görög matematikusnak tulajdonítják.

A szintetikus geometriában korlátozásokkal átvihető affin transzlációsíkokra, Desargues-síkokon pedig korlátozás nélkül teljesül.

A tétel pontos megfogalmazása

Legyen e és f két egymást metsző egyenes; metszéspontjukat jelölje A! Legyen továbbá B és D két A-tól különböző pont e-n, és legyen C és E két A-tól különböző pont f-en úgy, hogy a BC és DE egyenesek párhuzamosak! Ekkor

{\frac {|AD|}{|AB|}}={\frac {|AE|}{|AC|}}

(illetve, ha ez igaz, akkor és csak akkor

{\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AE|}{|EC|}}

is igaz)

Ábrák a tételhez

Első helyzet
Második helyzet

Felfedezője

A párhuzamos szelők tételét Thalész fedezte fel az i.e. 6. században,^[2] és ezért a tételt egyes nyelveken (olasz, francia, spanyol, orosz, román) kis Thalész-tétel vagy Thalész első tétele néven említik. (A magyar szóhasználatban Thalész-tételként emlegetett állítás ezeken a nyelveken a nagy Thalész-tétel vagy Thalész második tétele.)

A tétel bizonyításával együtt szerepel Euklidész Elemek című könyvében.^[1]

Bizonyítás

Ha az arány irracionális, a tétel akkor is igaz és bizonyítható.

Egy bizonyítás

${\frac {AD}{DB}}={\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{BDE_{\bigtriangleup }}}}$ , mert a háromszögek magassága (m) megegyezik, csak az alapjuk különbözik. Hasonlóan ${\frac {AE}{EC}}={\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{ECD_{\bigtriangleup }}}}$ . Viszont $T_{BDE_{\bigtriangleup }}=T_{ECD_{\bigtriangleup }}$ , mert alapjuk (|DE|) és magasságuk is megegyezik, tehát ${\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{BDE_{\bigtriangleup }}}}={\frac {T_{ADE_{\bigtriangleup }}}{T_{ECD_{\bigtriangleup }}}}$ , ebből következően ${\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}$ , amit bizonyítani kellett.^[3]

A tétel megfordítása

A tétel megfordítása is igaz, vagyis ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat metsz ki, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

Bizonyítás

A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy ${\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AE|}{|EC|}}$ , de $DE\not \parallel BC$ . Húzzuk tehát be azt a h egyenest a B ponton keresztül, ami párhuzamos DE-vel! Legyen h és f metszéspontja C'! A párhuzamosság miatt felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét: ${\frac {|AD|}{|DB|}}={\frac {|AE|}{|EC'|}}$ . A feltétellel összevetve ${\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|AE|}{|EC'|}}$ , tehát $|EC|=|EC'|$ , vagyis $C\equiv C'$ , így viszont $DE\parallel BC$ , tehát a tétel megfordítása igaz.

Kapcsolódó geometriai fogalmak

A párhuzamos szelők tétele szorosan kapcsolódik a hasonlósághoz. Az ábra jelöléseivel a $ZAB$ és $ZA^{\prime }B^{\prime }$ háromszögek, illetve a $ZAC$ és $ZA^{\prime }C^{\prime }$ háromszögek hasonlóak egymáshoz. Ez azt jelenti, hogy a megfelelő oldalak aránya megegyezik - ami közvetlenül adódik a párhuzamos szelők tételéből. Lásd még: Háromszögek hasonlósága.

Egy további kapcsolódó fogalom a középpontos nyújtás, ami egy speciális geometriai leképezés. Például az első ábrán egy $A$ középpontú, ${\frac {|AD|}{|AB|}}$ vagy ${\frac {|AB|}{|AD|}}$ arányú középpontos nyújtás látható, illetve a második ábrán egy $A$ középpontú, $-{\frac {|AD|}{|DB|}}$ vagy $-{\frac {|DB|}{|AD|}}$ arányú középpontos nyújtást mutat.

Egy hasonló közeli kapcsolat áll fenn a vektorszámítással. Az

\lambda \left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)=\lambda {\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}

számítási szabály az ${\vec {a}},{\vec {b}}$ vektorokra és egy valós $\lambda$ skalárra csak a párhuzamos szelők tételének egy alternatív kifejezésmódja, mivel akkor

{\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |

.

ahol $\|{\vec {x}}\|$ az ${\vec {x}}$ vektor hossza (euklideszi normája).

Alkalmazások

Felmérések

A párhuzamos szelők tételének egy fontos alkalmazása hozzáférhetetlen távolságok felmérése. Ehhez szükség van egy konfigurációra, ami tartalmazza a közvetlenül nem mérhető szakaszt és még három szakaszt, a párhuzamos szelők tételének valamelyik konfigurációja szerint. Egy egyszerű mérőeszköz a Jákob-pálca, ami a párhuzamos szelők tételén alapul. A távolságok becslésére használt ujjszabály is ugyanezen alapul.

A Kheopsz-piramis magassága

Thalész ókori görög filozófus és matematikus egy bot és az árnyékok aránya alapján mérte meg az egyiptomi Kheopsz-piramis magasságát.

A következő példa a párhuzamos szelők tételén alapul, habár nem biztos, hogy Thalész eszerint számolt:

Előzetesen megmérjük a piramis alapját és árnyékának hosszát. Napos területen a piramis mellé függőlegesen letűzünk egy botot, és megmérjük ennek magasságát és árnyékának hosszát. A következő értékeket kapjuk:

A bot magassága: $A=1{,}63\,\mathrm {m}$
A bot árnyékának hossza: $B=2{,}00\,\mathrm {m}$
A piramis közvetlenül lemérhető árnyékának hossza: $65\,\mathrm {m}$
A piramis oldalhossza: $230\,\mathrm {m}$
A piramis összesített árnyékának hossza: $C=65\,\mathrm {m} +{\tfrac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m}$
A piramis magassága: $D$

A párhuzamos szelők tételével a következő egyenlet állítható fel:

{\frac {D}{A}}={\frac {C}{B}}

A háromszög

C

oldalának hossza a fél oldalhosszból és a piramis árnyékhosszából áll. D-re rendezve:

D={\frac {A\cdot C}{B}}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot \left(65\,\mathrm {m} +{\frac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m} \right)}{2{,}00\,\mathrm {m} }}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot 180\,\mathrm {m} }{2{,}00\,\mathrm {m} }}=146{,}7\,\mathrm {m}

.

Folyó szélessége

Nehezen hozzáférhető területeken is alkalmazható a párhuzamos szelők tétele, például folyók szélességének méréséhez. Megjelölik a mérendő szakasz két végét, legyenek ezek A és B. Ezután megszerkesztenek egy C pontot úgy, hogy CAB derékszögű háromszög legyen. Az AC-n választunk egy E pontot, melyet összekötünk a túloldali B ponttal. A BE szakaszt az E-n túl meghosszabbítjuk. Ekkor a C pontban merőlegest állítunk az AC-re, ami az EB meghosszabbítását egy D pontban metszi. Mivel AE, CE és CD a folyó ugyanazon partján fekszik, megmérhetők, és a párhuzamos szelők tétele megadja a keresett folyószélességet:

|AB|={\frac {|AE|\cdot |CD|}{|CE|}}

Szakasz felosztása

A párhuzamos szelők tételének alkalmazásával a szakaszok tetszőleges arányban feloszthatók.

Az egyik irányban felvesszük a felosztandó szakaszt. A másik irányban felmérjük a megfelelő távolságokat. Az így kapott szakasz végét összekötjük a felosztandó szakasz végpontjával, majd az osztópontokon át párhuzamosokat húzunk a végpontokat összekötő szakasszal. A párhuzamos szelők tétele miatt a felosztandó szakaszt a párhuzamosok a kívánt arányokban osztják fel.

További alkalmazások és általánosítások

Középpontpos nyújtások (homotéciák) és grafikák skálázása
Száloptikában a kamera nagyításának számítása, amihez még tekintetbe veszik a lencseegyenletet (hibátlan, vékony lencsére)
A szintetikus geometriában általánosítható az affin transzlációsíkokra.
Tizedestörtek szerkesztése
Szorzás körzővel és vonalzóval
Osztás körzővel és vonalzóval
Hatványozás körzővel és vonalzóval

Jegyzetek

1 2 Euklidesz. "2. tétel". Elemek. VI. kötet (angol nyelven).
↑ "Thales of Miletus" (angol nyelven).
↑ "planetmath.org". 2012. március 30. dátummal az eredeti címről archiválva. Hozzáférés: 2010. június 12.. {{cite web}}: Unknown parameter |archívdátum= ignored (súgó); Unknown parameter |archívurl= ignored (súgó)

Források

Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 191–208.
Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 124 ff. (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik).
Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie. Springer Spektrum, 2-te Auflage 2013, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 147–157
Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte. Springer Spektrum, 2015, ISBN 978-3-662-45269-1, S. 118–122
Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 157–170.
Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner Verlag 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1, S. 36–41

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Strahlensatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[elemek-1] 1 2 Euklidesz. "2. tétel". Elemek. VI. kötet (angol nyelven).

[2] "Thales of Miletus" (angol nyelven).

[3] "planetmath.org". 2012. március 30. dátummal az eredeti címről archiválva. Hozzáférés: 2010. június 12.. {{cite web}}: Unknown parameter |archívdátum= ignored (súgó); Unknown parameter |archívurl= ignored (súgó)

[1]

[2]

[3]