Egyenes

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma. Leírása (és nem definíciója) szerint mindkét irányban végtelen, végtelenül keskeny vonal. Két pont közötti legrövidebb út szakasz.

A modern axiomatikus elméletekben az egyenes belső tulajdonságok nélküli objektum; csak a más egyenesekkel, pontokkal és síkokkal való kapcsolata érdekes.

Az analitikus geometriában az egyenes ponthalmaz. Pontosabban, az affin geometriában az egyenes egydimenziós altér.

Az egyenes definiálhatóságáról[szerkesztés]

Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:

A vonal szélesség nélküli hosszúság

és csak ezután következik az egyenes:

Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.[1]

Ez a megfogalmazás Eukleidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik, pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.

Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:

  • Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
  • Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
  • Ha egy egyenes pontjai és az és pontok között fekszik, akkor egyszersmind a pont a és pontok között is fekszik.
  • Ha egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan pontja az egyenesnek, amely az és pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan pontja, hogy a pont az és pontok között is fekszik.
  • Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.

A projektív geometriában él a dualitás tétele (egyes rendszerek szerint axiómája). Ez egy szimmetriaelv, hogy ha egy dimenziós térben állítunk valamit a dimenziós és az dimenziós alterek illeszkedési tulajdonságairól, akkor az állítás igazságtartalma megmarad, ha a dimenziós alterek helyett , az dimenziós altereket dimenziósakra cseréljük, az illeszkedési relációt pedig megtartjuk. Speciálisan, projektív síkokon az egyenesek és pontok duálisak. Így projektív síkokon képzelhető a pont végtelen hosszúnak, és az egyenes minden irányból végtelenül kicsinek. Három dimenziós projektív terekben a pontok és a síkok duálisak egymással, az egyenesek pedig egyenesekkel duálisak.

Egyenes megadása az analitikus geometriában[szerkesztés]

Az analitikus geometriában a geometriai tér egy -dimenziós vektortér a valós számok felett. Az egyenes egydimenziós affin altér, azaz egy -1 dimenziós lineáris altér mellékosztálya.

Három dimenzióban az analitikus geometria eleget tesz a Hilbert-féle axiómarendszernek; így az analitikus geometria egyenesei megfelelnek a Hilbert-féle axiómarendszereinek.

Egy egyenes egyenlete
olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
  • A síkban az egyenes egyenletének általában háromféle alakját használjuk (Descartes-féle koordináta-rendszerben):
    • Ha adott az egyenes egy pontja és egy normálvektora:[2] .[3]
    • Ha az egyenesnek egy pontja és a meredeksége (vagy iránytangense)[4] adott: , ahol a b konstansra teljesül.
    • Adva legyen az egyenes pontja, és az tengellyek bezárt szöge, . Ha az egyenes nem függőleges, akkor egyenlete . Ha függőleges, akkor egyenlete .
    • Ha adott az egyenes két pontja és , akkor az egyenes bármely pontja meghatározható az összefüggés szerint.
    • Legyenek , az egyenes különböző pontjai. Ekkor az egyenes pontjaira teljesül, hogy ahol , így az egyenes egyenlete .
  • A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
    • Ha adott az egyenes egy pontja és egy irányvektora:[5] , ahol a t valós paraméter.
    • Kicsit átalakítva az előző egyenletrendszert (amennyiben , azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem):
  • Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter
    • Legyen helyvektor, irányvektor. Ekkor a ponton átmenő irányú egyenes egyenlete:
.
    • Legyenek helyvektorok úgy, hogy . Ekkor egyértelműen létezik egy egyenes, ami mindkettőre illeszkedik, és egyenlete:
.

Két különböző vektor affin burka egyenes:

, ahol , a vektorok.

Egyenesek kölcsönös helyzete[szerkesztés]

  • Párhuzamosság: A két egyenes eltolással átvihető egymásba. A párhuzamosság ekvivalenciareláció.
    • Egybeesés: A két egyenes összes pontja ugyanaz, azaz ponthalmazként megegyeznek. Nullvektorral való eltolással vihetők egymásba-
    • Valódi párhuzamosság: A két egyenes nem esik egybe, de irányuk megegyezik. Nullvektortól különböző vektorral való eltolással átvihetők egymásba.
  • Metszők: Az egyeneseknek egy közös pontja van.
  • Kitérők: Az egyeneseknek nincs közös pontjuk, és nem vihetők eltolással egymásba. Csak legalább háromdimenziós térben lehetséges.

Metszéspont a síkban[szerkesztés]

Metsző, illetve nem metsző szakaszok a síkban

A síkban két, egyenlettel adott, metsző egyenes metszéspontjának számításához a Cramer-szabály nyújt segítséget:

Ha , akkor az egyenesek párhuzamosak.

Ha az egyenesek két-két pontjukkal adottak, azaz az első egyenes a és pontokkal, a második pedig a és pontokkal, akkor ki kell számítani az egyenesek egyenleteit. Így az metszéspontra adódik, hogy

és
.

Szemben az egyenesekkel, a síkban a nem párhuzamos szakaszok nem feltétlenül metszik egymást. Legyen a két szakasz és . Ekkor a szakaszok paraméteres egyenlettel írhatók le:

,

ahol . Ha létezik az metszéspont, akkor vannak olyan paraméterek, hogy

Ahogy a fenti esetben, úgy most is a Cramer-szabály segít nekünk. Ezután még azt is vizsgálnunk kell, hogy . Ha ez teljesül, akkor a paraméterek behelyettesítésével megkapjuk a szakaszok metszéspontjának koordinátáit.

Legyenek például a szakaszok és . Ekkor az egyenletrendszer

így , és a szakaszok metszik egymást. A metszéspont koordinátái .

Két ponttal adott egyenesek metszéspontja is számítható ugyanígy, ám ekkor nem kell vizsgálni, hogy .

Egyenesek szöge a síkban[szerkesztés]

Ha egy egyenes egyenlete formában adott, akkor irányszögére, -ra teljesül, hogy:

,

ami következik a tangens definíciójából. Alkalmazva a tangens inverz függvényét, az árkusz tangenst:

Ha ezek az egyenletek nincsenek definiálva, akkor , az egyenes függőleges. A tangensfüggvénynek pólusa van a és az helyen.[6]

Legyenek és a egyenesek a síkban, és legyenek adva az és egyenletekkel adva úgy, hogy és helyvektorok, és és lineárisan független irányvektorok! Ekkor a két egyenes által bezárt szögre teljesül, hogy:

Az egyenesek merőlegesek, más szóval, ortogonálisak akkor, ha derékszöget zárnak be, azaz . Ez pontosan akkor teljesül, ha az irányvektorok skaláris szorzata nulla, azaz .[7]

Ha az egyenesek egyenlete és alakban adott, akkor az általuk közrezárt szög, irányszögeik különbsége:

A tangensfüggvény addíciós tételeivel:

Mivel és , következik, hogy:

Végeredményben

Alkalmazva a tangens inverz függvényét kapjuk, hogy:

Az egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha a nevező nulla, azaz . Ekkor a fenti egyenletek nincsenek értelmezve, mivel a tangensfüggvénynek pólusa van a és az helyen.[8]

Távolságok a síkban[szerkesztés]

Adva legyen a pont, és az egyenletű egyenes. Távolságuk:

Az egyenes ponthoz legközelebbi pontjának koordinátái:

Ha az egyenes két pontjával van adva, akkor alakú egyenletének együtthatói:

és ezek az együtthatók helyettesíthetők be a képletekbe.[9]

Távolságok a térben[szerkesztés]

A pont és az , illetve pontokon átmenő egyenes távolsága: [10]

Ha az egyik egyenes a és pontokon, a másik a és pontokon halad át, akkor távolságuk:[11]

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Mayer Gyula fordításában
  2. Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
  3. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
  5. Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel
  6. Math Open Reference: Inverse tangent function (arctan)
  7. W3spoint.com: Angle between two lines
  8. Math Open Reference: Inverse tangent function (arctan)
  9. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
  10. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
  11. Wolfram MathWorld: Line-Line Distance

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gerade című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.