Egyenes

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma.

Az egyenes definiálhatóságáról[szerkesztés]

Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:

A vonal szélesség nélküli hosszúság

és csak ezután következik az egyenes:

Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.[1]

Ez a megfogalmazás Eukleidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik, pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.

Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.

Tulajdonságai[szerkesztés]

Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:

  • Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
  • Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
  • Ha egy egyenes pontjai és az és pontok között fekszik, akkor egyszersmind a pont a és pontok között is fekszik.
  • Ha egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan pontja az egyenesnek, amely az és pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan pontja, hogy a pont az és pontok között is fekszik.
  • Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.

Egyenes megadása az analitikus geometriában[szerkesztés]

Egy egyenes egyenlete
olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
  • A síkban az egyenes egyenletének általában háromféle alakját használjuk (Descartes-féle koordináta-rendszerben):
    • Ha adott az egyenes egy pontja és egy normálvektora[2]: ,[3].
    • Ha az egyenesnek egy pontja és a meredeksége (vagy iránytangense)[4] adott: , ahol a b konstansra teljesül.
    • Ha adott az egyenes két pontja és , akkor az egyenes bármely pontja meghatározható az összefüggés szerint.
  • A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
    • Ha adott az egyenes egy pontja és egy irányvektora[5]: , ahol a t valós paraméter.
    • Kicsit átalakítva az előző egyenletrendszert (amennyiben , azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem):
  • Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter

Lásd még[szerkesztés]

Hivatkozások[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Mayer Gyula fordításában
  2. Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
  3. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
  5. Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel