Mellékosztály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mellékosztály a matematika egyik ágának, a csoportelméletnek a fogalma. Ha adott egy csoport, ennek egy eleme valamint egy részcsoportja, akkor a részcsoport adott elem szerinti mellékosztálya azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek a részcsoport elemeinek az adott elemmel való szorzatából[megj. 1] adódnak.

A közös részcsoporthoz de más-más elemhez tartozó mellékosztályok vagy egyenlők (azaz minden elemük közös) vagy diszjunktak (azaz nincs közös elemük). Számosságuk egyenlő a részcsoport rendjével (azaz a részcsoportba tartozó elemek halmazának számosságával). Ezekből következik, hogy a csoport elemei egy adott részcsoportra nézve mind pontosan egy-egy mellékosztályba tartoznak. Innen ered az osztály elnevezés.

Definíció[szerkesztés]

Legyen [megj. 2], pedig részcsoportja, valamint egy -beli elem:

Ekkor a részcsoportnak a szerinti jobb oldali mellékosztálya a következő halmaz:

bal oldali mellékosztálya pedig:

Ha a művelet kommutatív, akkor a két fogalom megegyezik, és elég egyszerűen mellékosztályról beszélni.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Diszjunktság[szerkesztés]

Egy adott részcsoport ugyanolyan oldali, de különböző elem szerinti mellékosztályai vagy diszjunktak, vagy egyenlők:

Másképp megfogalmazva: ha van közös elemük, akkor minden elemük közös:

Bizonyítása az utóbbi megfogalmazást követve (a bizonyítás szimmetrikusan az ellenkező oldali mellékosztályokra is működik):

  • Ha a két mellékosztálynak nincs közös eleme, akkor a két halmaz diszjunkt, tehát az állítás igaz.
  • Ha van közös elemük, akkor az egyik ilyen közös elemet jelölje x. A mellékosztály definíciója szerint x tehát a következőképp írható:
, mert x benne van az f szerinti mellékosztályban
, mert x benne van a g szerinti mellékosztályban
  • Ebből következik, hogy
, mindkét oldalt balról összeműveletezzük a inverzével.
  • Legyen y egy tetszőleges -beli elem. Ekkor a definíció szerint y a következőképp írható:
ami az (1) egyenlet alapján:
mivel a struktúra csoport, a művelet asszociatív:
  • Legyen
d biztosan eleme -nak, hiszen elemei -nak, a struktúra pedig csoport, tehát létezik inverz a halmazon belül, valamint a művelet zárt a halmazra. Így a (2) egyenlet:
Ez a mellékosztály definíciója szerint azt jelenti, hogy
  • Ezzel be lett bizonyítva, hogy ha van közös elem, akkor bármely elem, ami benne van az f szerinti mellékosztályban, az a g szerintiben is benne van. A szimmetria miatt fordítva is igaz: bármely elem, ami benne van a g szerinti mellékosztályban, az az f szerintiben is benne van. Ez azt jelenti, hogy ha a két halmaz nem diszjunkt, akkor egymásnak kölcsönösen részhalmazai, tehát egyenlők. Ezt kellett bizonyítani.

Azonos számosság[szerkesztés]

Közös részcsoporthoz tartozó mellékosztályok számossága megegyezik a részcsoport rendjével:

Bizonyítása:

  • Legyen tetszőleges és
egyértelmű hozzárendelés (függvény).
  • Legyen .
Tegyük fel, hogy
Vagyis
, mivel csoportról van szó, létezik inverz.
  • Tehát a függvényértékek csak akkor egyenlők, ha a változók is, valamint a képhalmaz egyben értékkészlet is a mellékosztály definíciója alapján. Ebből következik, hogy φ kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, azaz bijekció.
  • Mivel és között létesíthető kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (a φ), a két halmaz számossága a számosság definíciója szerint egyenlő:
  • A bizonyítás ugyanígy működik az ellenkező oldali mellékosztályokra is, tehát az állítás bizonyítása kész.

Lagrange tétele[szerkesztés]

A mellékosztályok fenti tulajdonságainak felhasználásával Lagrange tétele egyszerűen bizonyítható:

Tétel: Véges csoport minden részcsoportjának rendje osztja a csoport rendjét, azaz:

Bizonyítás:

  • különböző mellékosztályai diszjunktak és azonos számú, darab elemet tartalmaznak.
  • Minden -beli elem benne van az egyik mellékosztályban:
például a -ben, hiszen , ahol a csoport egységeleme (ami megegyezik egységelemével).
  • A teljes halmaz elemszáma egyenlő a különböző (tehát diszjunkt) mellékosztályok elemszámának összegével, hiszen átfedés nincs köztük de kitöltik a teljes halmazt. Ezeknek a mellékosztályoknak a számát jelöli (ennek neve a részcsoport indexe a csoportra), így:
Vagyis

Megjegyzések[szerkesztés]

  1. A szorzat szó itt egyszerűen a csoportban értelmezett műveletet jelenti, ami bármi lehet, ha teljesíti a csoportaxiómákat, például összeadás is.
  2. A jobb átláthatóság kedvéért egyszerűen jelöli magát a csoportot és a halmazt is. Halmazelméleti jelölések használatakor (például , ) a betű a csoport elemeinek halmazára vonatkozik, csoportelméleti jelöléseknél pedig magát a csoportot jelöli.