Számosság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A halmazelméletben a számosság fogalma a „halmazok elemszámának” az általánosítása a véges (azaz véges számosságú) halmazokról a végtelen (azaz végtelen számosságú) halmazokra. Véges halmazok esetében a számosság megegyezik tehát a halmaz elemeinek a számával, amely természetes szám, beleértve a nullát is, s ez az üres halmaz elemszámának felel meg. A halmazok számosságának a jelölésére is ugyanazt a jelölést használjuk, mint a véges halmazok esetén a halmazok elemszámának a jelölésére, azaz tetszőleges halmaz számosságának vagy kardinális számának a jele: .

Számosságok relációi[szerkesztés]

Egyenlőség[szerkesztés]

Legyen két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy az és halmazok ekvivalensek (vagy más szóval egyenlő számosságúak), ha létezik bijektív leképezés.

Megjegyzés: A halmazok ekvivalenciája halmazok tetszés szerinti halmazában ekvivalenciareláció.

Kisebb-nagyobb reláció[szerkesztés]

Legyen két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy , ha létezik injektív leképezés, ami minden eleméhez más-más elemét rendeli, azaz ekvivalens egy részhalmazával. Ha létezik ilyen injektív leképezés, de -vel magával már nem ekvivalens, azaz nincs megfelelő bijektív leképezés, akkor számossága nagyobb, mint számossága. Jele: .

Cantor-Bernstein-tétel[szerkesztés]

Belátható a következő (végtelen halmazok esetében nem triviális) tétel:

Ha és , akkor .

Alternatív megfogalmazás: Ha az és halmazok között léteznek és injektív leképezések, akkor létezik egy injektív ráképezés (bijekció) is.

Azaz, ha létezik olyan függvény, ami az halmaz elemeihez a halmaz különböző elemeit rendeli, és egy függvény, ami elemeihez különböző elemeit rendeli, akkor létezik olyan függvény is, mely és elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít.

A tétel szemléletesen értelmezve azt jelenti, hogy a halmazok számosságai a rendezési (kisebb-nagyobb) relációjukra nézve láncot alkotnak (a számosságok rendezése trichotom jellegű), azaz ha a és b halmazok (nem feltétlenül finit) elemszámai, akkor az a<b, a=b és a>b lehetőségek közül pontosan egy teljesül.

Megszámlálható halmaz[szerkesztés]

A véges halmazokat és a megszámlálhatóan végtelen halmazokat megszámlálható halmazoknak nevezzük.

Véges halmaz[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amellyel ekvivalens.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely természetes számra létezik bijekció, beleértve az üres halmazt is esetén.

(Vagy másképpen: véges halmaz, ha létezik természetes szám és bijekció, ahol Neumann-féle halmazelméleti definíciója )

Példák[szerkesztés]

  • Legyen . Ekkor .
  • A véges halmaz hatványhalmazának a számossága .

Megszámlálhatóan végtelen halmaz[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy a halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha létezik bijekció, ahol a természetes számok halmaza.

Következmény[szerkesztés]

A természetes számokkal való bijekció pont azt jelenti, hogy ezek a halmazok sorbarendezhetőek. (Hiszen minden elemhez egy-egy sorszámot rendelünk.) A természetes számok halmazának, illetve a megszámlálhatóan végtelen halmazoknak a számosságát szokásosan (e. "alef null") jelöli. Ez a legkisebb végtelen számosság (ezért is a nulla index). Ezzel összefüggésben, a halmazelmélet legszokványosabb felépítésében (ZFC-axiómarendszer) igaz az az állítás, hogy tetszőleges végtelen halmaznak van számosságú részhalmaza. Mellesleg, ez más axiómarendszerekben (például az ún. ZFU) nem teljesül[1]

Példák[szerkesztés]

  • Az egész számok halmaza megszámlálható, mivel számossága egyenlő a természetes számok számosságával. Ezt könnyű belátni, hiszen legyen a leképező függvényünk a következő:

Azaz minden nemnegatív számhoz rendeljük a páros számokat és minden negatívhoz a páratlanokat. Ez egy jó példa arra, hogy végtelen halmazok esetében lehetséges, hogy egy halmaz és annak egy valódi részhalmaza egyenlő számosságú.

  • A racionális számok halmaza () megszámlálható

Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül[szerkesztés]

  • Ha A megszámlálható és a tőle diszjunkt B halmaz véges, akkor is megszámlálható.
  • A diszjunkt A, B halmazok egyesítésének s számossága csak A és B számosságától függ, vagyis ha A és B helyére a velük egyenlő számosságú A’, ill. B’ halmazokat tesszük úgy, hogy A’ és B’ diszjunktak, akkor utóbbiak egyesítésének a számossága is s lesz.
  • Ha véges sok (mondjuk k darab) diszjunkt Ai halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor is megszámlálható.
  • Megszámlálható sok diszjunkt Ai halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor az egyesítésük, vagyis halmaz is megszámlálható.
  • összes véges részhalmazainak a halmaza is megszámlálható.

Kontinuum halmaz[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy a halmaz kontinuum számosságú, ha létezik bijekció, ahol a valós számok halmaza.

Példák[szerkesztés]

A "legegyszerűbb" ilyen halmaz a [0,1] zárt intervallumba tartozó valós számok halmaza. Ennek számossága kontinuum. Lássuk ezt be: Ez a |H| számosság legalább megszámlálhatóan végtelen (hisz H tartalmazza például a nyilvánvalóan megszámlálhatóan végtelen részhalmazt). Indirekt tegyük fel, hogy H megszámlálhatóan végtelen, vagyis elemeit valamilyen (v1, v2,…) sorrendbe rendezhetjük. Minden ilyen vi egy 0 és 1 közötti valós szám, felírható tehát végtelen tizedes törtként 0,vi1vi2vi3… alakban. (Ez a felírás nem egyértelmű, pl.: 0,5000 = 0,49999…. Ezért most az egyértelműség kedvéért zárjuk ki azt a felírási módot, ahol egy idő után csupa kilences következik.) Az indirekt feltevés szerint tehát a:

0,v11v12v13

0,v21v22v23

0,v31v32v33

sorozat H minden elemét tartalmazná. A táblázat „átlója” mentén végighaladva készítsünk egy olyan w valós számot, melynek w=0,w1w2w3… tizedestört alakjához úgy jutunk, hogy ha vii = 1 volt, akkor legyen wi = 2, ha pedig vii ≠ 1 volt, akkor legyen wi = 1. Ez a w szám biztos nem szerepelhetett a fenti táblázatban, hisz bármely j-re elmondható, hogy vj szám j-edik tizedesjegye különbözik a w szám j-edik tizedesjegyétől. Mivel így nem minden 0 és 1 közötti valós szám szerepel a felsorolásban, ellentmondásra jutunk, tehát |H| nem lehet megszámlálható.

Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül[szerkesztés]

  • Legyen A egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz, B pedig egy tőle diszjunkt, kontinuum számosságú halmaz. Ekkor .
  • Megszámlálhatóan végtelen halmaz hatványhalmaza épp kontinuum számosságú.

Megjegyzés[szerkesztés]

  • Struktúra számosságán a struktúra alaphalmazának számosságát értjük.[2]

Lásd még[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Lásd: mathforum.org
  2. Csirmaz, László & Hajnal, András: Matematikai logika egyetemi jegyzet, ELTE Bp, 1994 (Postscript változat)

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3