Mérhető számosság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mérhető számosság a halmazelmélet egyik legfontosabb fogalma, a legegyszerűbb nagyszámosság-axióma.

Definíciója[szerkesztés]

A legegyszerűbb definíció[szerkesztés]

Egy megszámlálhatónál nagyobb \kappa számosság mérhető, ha egy \kappa számosságú S halmaz összes részhalmazán van olyan \mu függvény, hogy

  • minden X\subseteq S-re \mu(X)=0 vagy 1;
  • \mu(\{x\})=0 minden x\in S-re, \mu(S)=1;
  • (\kappa-additivitás) ha \tau<\kappa és \{X_i:i<\tau\} páronként diszjunkt részhalmazai S-nek, akkor X=\bigcup\{X_i:i<\tau\}-ra
\mu(X)=\sum\{\mu(X_i):i<\tau\}

teljesül.

A szokásos definíció[szerkesztés]

A \kappa>\omega számosság mérhető, ha \kappa-n van \kappa-teljes, normális, nemfő ultraszűrő.

Ekvivalens definíció[szerkesztés]

Van olyan j:V\to M elemi beágyazás, ahol M tranzitív osztály és j kritikus pontja \kappa, azaz j(\kappa)>\kappa, de j(\alpha)=\alpha minden \alpha<\kappa-ra.

A mérhető számosságok tulajdonságai[szerkesztés]

Minden mérhető számosság erősen elérhetetlen. Hosszú ideig sejtés volt, hogy ez megfordítva is igaz, tehát hogy minden erősen elérhetetlen számosság mérhető. Végül Tarski, felhasználva tanítványa, Hanf eredményeit, megcáfolta. Tétele szerint, ha \kappa mérhető számosság, akkor \kappa darab olyan \kappa-nál kisebb számosság van, ami erősen elérhetetlen, sőt ezek halmaza \kappa-ban stacionárius, tehát \kappa Mahlo. Ezért például a legkisebb erősen elérhetetlen számosság biztosan nem mérhető.