Mérhető számosság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A mérhető számosság a halmazelmélet egyik legfontosabb fogalma, a legegyszerűbb nagyszámosság-axióma.

Definíciója[szerkesztés]

A legegyszerűbb definíció[szerkesztés]

Egy megszámlálhatónál nagyobb számosság mérhető, ha egy számosságú S halmaz összes részhalmazán van olyan függvény, hogy

  • minden -re vagy 1;
  • minden -re, ;
  • (-additivitás) ha és páronként diszjunkt részhalmazai S-nek, akkor -ra

teljesül.

A szokásos definíció[szerkesztés]

A számosság mérhető, ha -n van -teljes, normális, nemfő ultraszűrő.

Ekvivalens definíció[szerkesztés]

Van olyan elemi beágyazás, ahol M tranzitív osztály és j kritikus pontja , azaz , de minden -ra.

A mérhető számosságok tulajdonságai[szerkesztés]

Minden mérhető számosság erősen elérhetetlen. Hosszú ideig sejtés volt, hogy ez megfordítva is igaz, tehát hogy minden erősen elérhetetlen számosság mérhető. Végül Tarski, felhasználva tanítványa, Hanf eredményeit, megcáfolta. Tétele szerint, ha mérhető számosság, akkor darab olyan -nál kisebb számosság van, ami erősen elérhetetlen, sőt ezek halmaza -ban stacionárius, tehát Mahlo. Ezért például a legkisebb erősen elérhetetlen számosság biztosan nem mérhető.