Halmazelmélet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A halmazelmélet - a matematikai logikával együtt - a matematika legalapvetőbb tudományága, mely a halmaz fogalmát tanulmányozza. [mj 1]

A matematikán belül kettős szerepe van. Mint önálló tudomány, elsősorban a végtelen sok elemű matematikai összességek mennyiségi viszonyaival foglalkozik (számosságaritmetika), ti. hogy hogyan lehet a véges (egész) számokra megszokott aritmetikai és algebrai törvényeket a végtelen számosságokra átvinni, illetve utóbbiak körében milyen új törvényszerűségek érvényesülnek; ezzel összefüggésben azonban a matematikai logikai és struktúraelméleti (pl. topológiai) módszerekhez hasonlatos eszközökkel, a végtelen halmazok elméletének matematikai megalapozására irányuló vizsgálatokat is folytat.

Mint (egy bizonyos értelemben) alkalmazott tudomány, a halmazelmélet felhasználható gyakorlatilag a teljes matematika megalapozására. [mj 2] Ez mutatja a halmazelmélet alapvető jelentőségét (lásd még: matematikafilozófia).

A halmazelmélet megalkotója Georg Cantor német matematikus, aki a végtelen halmazokra és a halmazok számosságaira vonatkozó úttörő kutatásaival nemcsak a halmazelméletet indította útjára, hanem gyökeresen megváltoztatta a matematika egész arculatát. Elmélete, az utóbb ellentmondásosnak bizonyult naiv halmazelmélet, megreformálásra szorult ugyan, de alapkoncepciói beépültek a matematika minden szegletébe. A 20. század elején Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel, Neumann János és Kurt Gödel munkássága révén sikerült axiomatikus alapokra hozni a halmazelméletet (lásd még: axiomatikus halmazelmélet). A halmazelmélet elterjedésében nem kis szerepe volt az ún. Bourbaki-csoportnak, valamint egyes középiskolai reformoknak.

Történet és áttekintés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 19. század vége felé két matematikus, Richard Dedekind és Georg Cantor magán a fogalmak szigorúbb definícióján túlmutató jelentőségű eredményeket ért el a valós számok elméletében. Richard Dedekind bebizonyította, hogy a racionális és irracionális számok mindenhol sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden intervallumban - legyen bármilyen kicsi - van akár irracionális, akár racionális szám. Georg Cantor pedig azt bizonyította be, hogy a valós számok halmaza nem lehet megszámlálhatóan végtelen (a Cantor-tétel egy speciális esete, melyet az átlós eljárással igazolt). Ennek a cikknek az 1874-es publikálását tekintjük a halmazelmélet megszületésének.

A halmazelmélet cantori szemlélete szerint

tetszőleges T tulajdonság egy olyan halmazt határoz meg, mely azokat az elemeket tartalmazza, melyekre T teljesül.

Ez a komprehenzivitási elv, mely azonban a naiv halmazelmélet javíthatatlan hibáinak forrásává vált. A naiv halmazelméletben ugyanis Bertrand Russell 1904-ben (és ezzel egy időben sokan mások is, például maga Cantor) ellentmondást, úgynevezett antinómiát fedezett fel (lásd: Russell-paradoxon). Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika csaknem teljesen a halmazelméletre alapozható, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Legelőször Zermelo végzett eredményes kutatásokat az említett ellentmondások kiküszöbölésére. Zermelo vizsgálatait Fraenkel bővítette – kialakítva az úgynevezett Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszert. Más halmazelméleti axiómarendszereket is alkottak (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet), melyek nagyban hozzájárultak a modern halmazelméleti kutatások eredményességéhez.

A halmazelmélet alapkoncepciói[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazelméletben mindent le lehet írni két kifejezéssel. Az egyik a „halmaz”, a másik az a kijelentés, hogy egy adott dolog „eleme” egy halmaznak. Ezek a halmazelmélet alapfogalmai.

Tulajdonságok és igazságtartományok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazelmélet legfontosabb objektumai azok a halmazok, melyek egy adott halmaz adott tulajdonságnak eleget tévő elemeiből állnak. Például a természetes számok halmazának, az

\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,...\}

halmaznak kiválaszthatjuk azon elemeit, melyek négyzetszámok, azaz előállnak egy természetes szám négyzeteiként:

S=\{0,1,4,9,16,...\}\,

Amikor valamely szabályosság, vagy tulajdonság teljesül egy halmaz elemeire, akkor ezt az

\{x\in H \mid T(x) \}

összetett szimbólummal jelöljük (melyet olyan x-ek a H-ból, melyekre teljesül T(x) -ként mondunk ki) és ahol az ' x ∈ H ' azt jelöli, hogy egy H halmaz elemeiről van szó, a | (függőleges vonal) azt, hogy ezek közül azokat gyűjtjük össze egy halmazba, melyekre igaz a T(x) tulajdonság. Ez lényegében nem más, mint a T tulajdonság igazságtartománya. A példában eszerint

S=\{x\in \mathbb{N}\mid x=n^2,\;n\in \mathbb{N} \}

A végtelen halmazelméleti fogalma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyezzük, hogy már Galilei is rámutatott, hogy a négyzetszámok „ugyanannyian” vannak, mint a természetes számok. Ezt Cantor a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésekkel fogalmazta meg. Két halmaz azonos számosságú (lényegében azonos elemszámú), ha az egyik halmaz minden elemét hozzárendelhetjük a másik halmaz egy-egy eleméhez oly módon, hogy különbözőkhöz mindig különbözőket rendelünk. Például az n \mapsto n^2 ilyen tulajdonságú, és ekkor a természetes számok és a négyzetszámok egyenlő számosságúak (holott a négyzetszámok halmaza a természetes számoknak egy meglehetősen ritka részhalmaza).

Cantor a számosság ezen fogalmával belátta, hogy a természetes számok és a számegyenes pontjai nem azonos számosságúak, azaz nem hozhatók kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe. A valós számok „sokkal többen vannak”, mint a természetes számok. Ez a Cantor-tétel egy variánsa, mely azt a meglepő eredményt közli, hogy nagyon sokféle rendű végtelen van. A végtelen számosságokkal történő számítások a halmazelméletnek máig jelentős része.

A matematika halmazelméleti létrehozása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még: rendezett pár, reláció, függvény, rendszám, számosság

A halmazelmélet arra is jó, hogy a matematikai fogalmakat előállítsuk benne. Például a 0 számra gondolhatunk úgy, mint arra a halmazra, melynek egyetlen eleme sincs, azaz az üres halmazra:

\varnothing=\{\;\}

Az 1 számra gondolhatunk úgy, mint egy egyelemű halmazra. A meghatározottság kedvéért legyen 1 az üres halmazt tartalmazó halmaz:

1:=\{\varnothing\}=\{0\}

A 2 szám legyen ebből a két halmazból álló halmaz:

2:=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{0,1\}

És így tovább, az n-edik természetes szám, az összes halmazelméleti természetes szám halmaza n-ig:

n=\{0,1,...,n-1\}\,

Ezt a konstrukciót Neumann találta ki, Frege és Hume hasonló gondolatainak egyfajta halmazelméleti kivitelezéseként. Sőt ennek mintájára, a sort folytatva Neumann megalkotta a rendszám fogalmát és Cantor nemcsak a véges, de a végtelen számosságfogalmát is.

A halmazelméletben megfogalmazható még a rendezett pár, a függvény, a valós szám és még nagyon sok matematikai fogalom. Gyakorlatilag az összes.

Túl nagy összességek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazelmélet absztraktságából (tehát hogy csak a „halmaz” és az „eleme” szavakat használja) következnek bizonyos kényelmetlenségek. A kezdetekkor azt gondolták, hogy akármilyen T tulajdonsággal képezhető az { x | T(x) } halmaz és ez is lehet eleme egy halmaznak. Gondolhatunk az { x | x ∉ x } összességre, de valójában az ellentmondás fellépése nélkül nem feltételezhetjük, hogy ez halmaz (lásd: Russell-paradoxon).

A tulajdonságokkal történő halmazképzést tehát korlátozni kell, nem lehet akármilyen dolgokat egy halmazba gyűjteni az ellentmondás fellépése nélkül. Az egyik megoldási mód ennek a korlátozásnak a kivitelezése, melyet Neumann vitt végig, és amiből a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet született, ez a méret korlátozásának elve. A másik a halmazok egymás után, műveletek segítségével történő felépítésének útja, melyet iteratív vagy kumulatív elvnek nevezünk, és ami a Zermelo–Fraenkel-halmazelméletben ölt testet.

Halmazműveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A halmazok egymásután történő megalkotásának iteratív elve az alábbi, úgynevezett halmazműveleteken nyugszik.

Egyesítés, unió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A és B halmazok, akkor A\cup B jelöli azon elemek összességét, melyek A illetve B közül legalább az egyikben benne vannak.

A\cup B:=\{x\mid x\in A \vee x\in B\}

Metszet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A, B halmazok, akkor A\cap B jelöli a metszetüket vagy közös részüket, azaz azt a halmazt, amely pontosan A és B közös elemeit tartalmazza. Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló \{A_i\,|\,i\in I\} halmazrendszer elemeinek \bigcap_{i\in I} A_i metszetét.

Unióképzés és metszetképzés tulajdonságai
Idempotencia: A\cap A=A A\cup A=A
Kommutativitás: A\cap B=B\cap A A\cup B=B\cup A
Asszociativitás \left( A\cap B\right)\cap C=A\cap\left( B\cap C\right) \left( A\cup B\right)\cup C=A\cup\left( B\cup C\right)
Disztributivitás \left( A\cap B\right)\cup C=\left( A\cup C\right)\cap\left( B\cup C\right) \left( A\cup B\right)\cap C=\left( A\cap C\right)\cup\left( B\cap C\right)

Kivonás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy A és egy B halmaz különbségét a \setminus művelettel képezzük, elemei pontosan azok, amelyek elemei A-nak, de nem elemei B-nek:

A\setminus B= \{x\,|\, x \in A \wedge x\notin B\}.

Komplementerképzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy A halmaz komplementerét egy adott U alaphalmaz felett értelmezhetjük, definíciója: \bar A \equiv U \setminus A

Párképzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a, b elemeket tartalmazó rendezett pár

\langle a,b\rangle=\{\{a\},\{a,b\}\}.

Ez valóban rendelkezik a rendezett pártól elvárható tulajdonsággal, ugyanis \langle a,b\rangle=\langle c,d\rangle csak akkor teljesül, ha a=c és b=d.

Descartes-szorzat vagy direkt szorzat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán a következő halmazt értjük:

A\times B=\{\langle x,y\rangle:x\in A, y\in B\}.

A szorzathalmaz elemei rendezett párok, amely azt jelenti, hogy az elemek közül az első az első halmazból, a második a második halmazból való.

Halmazelméleti függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha adott az A és B halmaz, akkor az A-n értelmezett és B-be érkező függvénynek nevezzük és

f:A\rightarrow B

-vel jelöljük, az A×B egy olyan f részhalmazát, mely elemeinek első komponensei között az A összes eleme szerepel és a reláció egyértelmű a második komponensében, tehát

  • értelmezési tartománya: Dom( f ) = A, továbbá
  • minden egyes xA elemhez egy és csakis egy olyan yB-beli elem található, hogy (x, y) ∈ f.

Egy A-beli x-hez tartozó, egyértelműen meghatározott, B-beli y elemet

f (x)

-szel jelöljük, így y = f (x) \Leftrightarrow (x, y) ∈ f. Ekkor azt mondjuk, hogy f az x értékhez az y értéket rendeli.

Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha különbözőkhöz különbözőket rendel.

Egy f : A \rightarrow B függvényről azt mondjuk, hogy szűrjektív (vagy ráképez B-re), ha minden elemet felvesz értékként B-ből.

Azt mondjuk, hogy f : A \rightarrow B bijekció (vagy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű), ha injektív és szürjektív.

Axiomatizálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A naiv halmazelméletet követően, az ellentmondások kiküszöbölése céljából axiomatikus halmazelméleteket hoztak létre. Ezekben a halmaz és az elem fogalma alapfogalom, a halmazoktól megkövetelt legfontosabb tulajdonságokat pedig axiómák rögzítik. Ilyen axiómák például az unió műveletének elvégezhetősége (azazhogy két halmaz uniója is halmaz legyen).

A halmazelmélet axiomatizálására számos elmélet született. Ezek közül a két legfontosabb:

Ezeken kívül a probléma megoldását megtalálhatjuk Russellnél (típuselmélet) és Quine-nél (Quine-féle típuselmélet) is.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Lásd még: metamatematika.
  2. Olyan, viszonylag új tudományágak, mint a kategóriaelmélet esetében, ez nem mondható ki egyértelműen, sőt a kategóriaelméletet sokan a halmazelmélet mint alapozó tudományág riválisának is tekintik. De ilyen kivétel viszonylag kevés van, a matematika szinte teljes egésze - akár modern, akár klasszikus - ma már a halmazelméletre épül.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]